Blog

ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମ (A.P.) ସମାଧାନ ପ୍ରଶ୍ନ ଆମକୁ କ’ଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ ହେବ? ପ୍ରଶ୍ନ: “ଏକ ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମରେ ଅବସ୍ଥିତ ତିନୋଟି ରାଶିର ଯୋଗଫଳ 18 ଏବଂ ଗୁଣଫଳ 192 ହେଲେ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡିକ ସ୍ଥିର କର।” ସହଜ ଭାଷାରେ: ଆମକୁ ଏପରି ୩ଟି ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜିବାର ଅଛି ଯେଉଁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମାନ ବ୍ୟବଧାନ ଥିବ (ଯେପରିକି ୨, ୪, ୬)। ସେମାନଙ୍କୁ ମିଶାଇଲେ ୧୮ ହେବ ଏବଂ ଗୁଣିଲେ ୧୯୨ ହେବ। ଆସନ୍ତୁ ଏହାକୁ ବାହାର କରିବା! a – d ୧ମ ସଂଖ୍ୟା + a ୨ୟ ସଂଖ୍ୟା + a + d ୩ୟ ସଂଖ୍ୟା ୧ ମନେକର (Assumption) ସମାନ୍ତର ଅନୁକ୍ରମ (A.P.) ରେ ୩ଟି ସଂଖ୍ୟା ନେବାକୁ ହେଲେ, ଆମେ ଏକ ସହଜ ଉପାୟ ବ୍ୟବହାର କରୁ। ସେହି ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବେ ନେବା: (a – d),   a,   (a + d) ଏଠାରେ ‘a’ ହେଉଛି ମଝି ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ‘d’ ହେଉଛି ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର (Common Difference)। ଏହିପରି ନେବା ଦ୍ୱାରା ହିସାବ ଖୁବ୍ ସହଜ ହୋଇଯାଏ! ୨ ପ୍ରଥମ ସର୍ତ୍ତ: ଯୋଗଫଳ 18 ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, ଏହି ୩ଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ମିଶାଇଲେ ୧୮ ହେବ। (a – d) + a + (a + d) = 18 ଏବେ ବନ୍ଧନୀ (bracket) ଖୋଲିଦେବା: ➔ a – d + a + a + d = 18 ➔ 3a = 18 (-d ଏବଂ +d ପରସ୍ପର ସହ କଟିଗଲା) ➔ a = 18 / 3 a = 6 ଆମକୁ ମଝି ସଂଖ୍ୟାଟି (a) ମିଳିଗଲା! ୩ ଦ୍ୱିତୀୟ ସର୍ତ୍ତ: ଗୁଣଫଳ 192 ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁଯାୟୀ, ଏହି ୩ଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ଗୁଣିଲେ ୧୯୨ ହେବ। (a – d) × a × (a + d) = 192 ଆମେ ବୀଜଗଣିତ ସୂତ୍ରରୁ ଜାଣୁ ଯେ, (a – d)(a + d) = a² – d² । ତେଣୁ: ➔ a × (a² – d²) = 192 ବର୍ତ୍ତମାନ ‘a’ ର ମୂଲ୍ୟ ୬ (a = 6) ପକାଇବା: ➔ 6 × (6² – d²) = 192 ➔ 6 × (36 – d²) = 192 ➔ 36 – d² = 192 / 6 ➔ 36 – d² = 32 ➔ d² = 36 – 32 ➔ d² = 4 d = 2 (କିମ୍ବା -2) ୪ ଶେଷ ଉତ୍ତର (Final Answer) ଏବେ ଆମ ପାଖରେ a = 6 ଏବଂ d = 2 ଅଛି। ଆସନ୍ତୁ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବାହାର କରିବା: ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟା: (a – d) = 6 – 2 = 4 ଦ୍ୱିତୀୟ ସଂଖ୍ୟା: a = 6 ତୃତୀୟ ସଂଖ୍ୟା: (a + d) = 6 + 2 = 8 ଅତଏବ, ସେହି ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି: 4, 6, 8 ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖନ୍ତୁ (Check): 4 + 6 + 8 = 18 (ଠିକ୍ ଅଛି) ଏବଂ 4 × 6 × 8 = 192 (ଠିକ୍ ଅଛି)!

ଜ୍ୟାମିତି ପ୍ରମାଣ: ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜ ଏବଂ ସମାନ ପରିସୀମା ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜ ଓ ପରିସୀମା ପ୍ରଶ୍ନ ଆମକୁ କ’ଣ ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ? ପ୍ରମାଣ କର ଯେ: “ଦୁଇଟି ସଦୃଶ (Similar) ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା (Perimeter) ସମାନ ହେଲେ ତ୍ରିଭୁଜଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ (Congruent) ଅଟନ୍ତି।” ସହଜ ଭାଷାରେ: ଯଦି ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଦେଖିବାକୁ ଏକାଭଳି ଲାଗୁଥାନ୍ତି ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ସୀମାର ଲମ୍ବ (ବାହୁଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ) ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ସେମାନେ ଆକାରରେ ମଧ୍ୟ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଏକାଭଳି ହେବେ। ଆସନ୍ତୁ ଏହାକୁ ଖୁବ୍ ସହଜରେ ବୁଝିବା! A B C D E F ତ୍ରିଭୁଜ ABC ତ୍ରିଭୁଜ DEF ~ ୧ ଦତ୍ତ (Given) ଚିତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, ମନେକର ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଅଛି: ∆ABC ଏବଂ ∆DEF । ଏହି ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ପରସ୍ପର ସହ ସଦୃଶ (Similar)। ଅର୍ଥାତ୍ ∆ABC ~ ∆DEF ସେମାନଙ୍କର ପରିସୀମା ସମାନ। ଅର୍ଥାତ୍ (AB + BC + CA) = (DE + EF + FD) ୨ ପ୍ରାମାଣ୍ୟ (To Prove) ଆମକୁ ପ୍ରମାଣ କରିବାକୁ ହେବ ଯେ ଏହି ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ସର୍ବସମ (Congruent) ଅଟନ୍ତି। ∆ABC ≅ ∆DEF ୩ ପ୍ରମାଣ (Proof): ପ୍ରଥମ ଭାଗ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ, ଯଦି ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ସଦୃଶ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ଅନୁରୂପ ବାହୁଗୁଡ଼ିକ (Corresponding sides) ସମାନୁପାତୀ ହୋଇଥାନ୍ତି। AB DE = BC EF = CA FD = k (ମନେକର) ତେଣୁ, ଆମେ ଲେଖିପାରିବା: AB = k × DE BC = k × EF CA = k × FD ୪ ପ୍ରମାଣ (Proof): ଦ୍ୱିତୀୟ ଭାଗ (ପରିସୀମାର ହିସାବ) ବର୍ତ୍ତମାନ, ପ୍ରଥମ ତ୍ରିଭୁଜ (∆ABC) ର ପରିସୀମା କାଢ଼ିବା: ∆ABC ର ପରିସୀମା = AB + BC + CA ଉପରେ ବାହାର କରିଥିବା ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ପକାଇଲେ: = (k × DE) + (k × EF) + (k × FD) = k × (DE + EF + FD) ଏଠାରେ ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ: (DE + EF + FD) ହେଉଛି ଦ୍ୱିତୀୟ ତ୍ରିଭୁଜ (∆DEF) ର ପରିସୀମା। ତେଣୁ, (∆ABC ର ପରିସୀମା) = k × (∆DEF ର ପରିସୀମା) ୫ ପ୍ରମାଣ (Proof): ଯାଦୁକରୀ ମୁହୂର୍ତ୍ତ (Magic Step!) ପ୍ରଶ୍ନରେ (ଦତ୍ତ ରେ) ଆମକୁ ଆଗରୁ କୁହାଯାଇଛି ଯେ ଦୁଇଟି ଯାକ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା ପରସ୍ପର ସହ ସମାନ। ଅର୍ଥାତ୍, (∆ABC ର ପରିସୀମା) = (∆DEF ର ପରିସୀମା) ଯଦି ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱ ସମାନ, ତେବେ ଉପର ସମୀକରଣରେ ଗୁଣା ହୋଇଥିବା k ର ମୂଲ୍ୟ କେବଳ ୧ (1) ହିଁ ହୋଇପାରିବ! ଅତଏବ, k = 1 ୬ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଏବଂ ପ୍ରମାଣିତ (Conclusion) ଯେହେତୁ k = 1 ବାହାରିଲା, ଏବେ ଆମର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ କ’ଣ ହେବ ଦେଖିବା: AB = 1 × DE ➔ AB = DE BC = 1 × EF ➔ BC = EF CA = 1 × FD ➔ CA = FD ଦେଖିଲେ ତ! ପ୍ରଥମ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି ଯାକ ବାହୁ, ଦ୍ୱିତୀୟ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି ବାହୁ ସହିତ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାନ ହୋଇଗଲା। ତେଣୁ, ବାହୁ-ବାହୁ-ବାହୁ (S-S-S) ସର୍ବସମତା ସର୍ତ୍ତ ଅନୁଯାୟୀ, ତ୍ରିଭୁଜ ଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ସହ ସର୍ବସମ ଅଟନ୍ତି। ∆ABC ≅ ∆DEF (ପ୍ରମାଣିତ)