BSE ODISHA MATRIX

BSE Odisha MatriX

ଦଶମ ଶ୍ରେଣୀ ବୀଜଗଣିତ: ସରଳ ସହସମୀକରଣ (ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପାଠ)

ସରଳ ସହସମୀକରଣ
(Linear Simultaneous Equations) - ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଧ୍ୟାୟ

ପାଠ ୧: ଉପକ୍ରମଣିକା (ଭୂମିକା)

📘 ମୂଳ ପାଠ୍ୟ ପୁସ୍ତକ

ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି $x$ ରେ ସରଳ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ରୂପ ହେଉଛି $ax + b = 0$, ଯେଉଁଠାରେ $a \neq 0$ । ଏଠାରେ $a$ ଓ $b$ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଓ $a$ କୁ $x$ ର ସହଗ ଓ $b$ କୁ ଧ୍ରୁବକ ରାଶି କୁହାଯାଏ। ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିରେ ଗୋଟିଏ ସରଳ ସମୀକରଣ (ଏକଘାତୀ)ର ସାଧାରଣ ରୂପ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ ......(1)

$x$ ଓ $y$ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସହ ସମୀକରଣ (1)ର ସମାଧାନ ପାଇଁ ଆମକୁ ସମୀକରଣ (1) ବ୍ୟତୀତ ଆଉ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣର ଆବଶ୍ୟକତା ପଡ଼ିଥାଏ । ଯଥା - $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ......(2)

💡 ସରଳ ବୁଝାମଣା

ଗଣିତର ଏକ ନୂଆ ଖେଳ!

ଭାବନ୍ତୁ, ଆପଣ ଏକ ଗୁପ୍ତଚର ଏବଂ ଆପଣଙ୍କୁ ଦୁଇଟି ଲୁଚି ରହିଥିବା ନମ୍ବର ଖୋଜିବାର ଅଛି! ଆମେ ସେହି ଦୁଇଟି ନମ୍ବରକୁ $x$ ଏବଂ $y$ ବୋଲି ଡାକିବା।

ଯଦି ମୁଁ ଆପଣଙ୍କୁ କେବଳ ଗୋଟିଏ ସୂଚନା ଦିଏ, ଯେମିତିକି "ଦୁଇଟି ନମ୍ବରକୁ ମିଶାଇଲେ ୧୦ ହେବ ($x + y = 10$)", ତେବେ ଆପଣ ସଠିକ୍ ନମ୍ବର କହିପାରିବେ କି? ନା! ଏହା (୫, ୫), (୬, ୪), ବା (୮, ୨) ହୋଇପାରେ।

ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ପାଇବା ପାଇଁ ଆମକୁ ଦୁଇଟି ସୂଚନା ବା ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଦରକାର। ଏହାକୁ ହିଁ ସହସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ!

ମଜାଦାର ତଥ୍ୟ 🎉: "ସହ" ମାନେ ସାଙ୍ଗ ହୋଇ। ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ସାଙ୍ଗ ହୋଇ ଆସିଲେ ହିଁ ଆମେ $x$ ଏବଂ $y$ ର ପ୍ରକୃତ ମୂଲ୍ୟ ପାଇପାରିବା।
🌍 ବାସ୍ତବ ଜୀବନର ଉଦାହରଣ

ଧରନ୍ତୁ ଆପଣ ଏକ ଦୋକାନକୁ ଗଲେ:

  • ଦିନ ୧: ୨ଟି ପେନ୍ ଓ ୩ଟି ପେନସିଲ୍ କିଣିଲେ = ୨୦ ଟଙ୍କା। (ସମୀକରଣ ୧)
  • ଦିନ ୨: ୧ଟି ପେନ୍ ଓ ୪ଟି ପେନସିଲ୍ କିଣିଲେ = ୧୫ ଟଙ୍କା। (ସମୀକରଣ ୨)

ଏହି ଦୁଇଟି ସୂଚନାରୁ ଆମେ ଗୋଟିଏ ପେନ୍ ଓ ପେନସିଲ୍ ର ପ୍ରକୃତ ଦାମ୍ ବାହାର କରିପାରିବା!

ପାଠ ୨: ଜ୍ୟାମିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ (ଗ୍ରାଫ୍)

📘 ମୂଳ ପାଠ୍ୟ ପୁସ୍ତକ

୧.୨ ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ଜ୍ୟାମିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ:

ମନେକର ସମୀକରଣ (1) ଓ (2) ର ଲେଖଚିତ୍ର ଯଥାକ୍ରମେ $L_1$ ଓ $L_2$। ଏହି ସରଳରେଖା ଦ୍ୱୟ xy- ସମତଳରେ ତିନି ପ୍ରକାରରେ ଅବସ୍ଥିତ ହୋଇ ପାରିବେ:

  1. $L_1$ ଓ $L_2$ ପରସ୍ପର ଛେଦୀ।
  2. $L_1$ ଓ $L_2$ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ (Coincident)।
  3. $L_1$ ଓ $L_2$ ସମାନ୍ତର।
💡 ସରଳ ବୁଝାମଣା (ଚିତ୍ର ସହ)

ଗ୍ରାଫ୍ କାଗଜରେ ଆଙ୍କିଲେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ପାଇଁ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା (Straight line) ମିଳିବ। ୨ଟି ରେଖା କେବଳ ୩ଟି ଢଙ୍ଗରେ ରହିପାରିବେ:

୧. ଛେଦକ (Intersecting)

ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ କାଟନ୍ତି।
ଗୋଟିଏ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଉତ୍ତର।

୨. ସମାନ୍ତର (Parallel)

କେବେ ମିଶନ୍ତି ନାହିଁ।
କୌଣସି ଉତ୍ତର ନାହିଁ।

୩. ଏକାକାର (Coincident)

ଗୋଟିକ ଉପରେ ଆଉ ଗୋଟିଏ।
ଅସଂଖ୍ୟ ଉତ୍ତର!

ଏହା ବିଷୟରେ ଭାବନ୍ତୁ 🤔: ଯଦି ଦୁଇଟି ରେଖା (ଟ୍ରେନ୍ ଲାଇନ୍ ପରି) କେବେ ମିଶିବେ ନାହିଁ, ତେବେ ମିଳନ ସ୍ଥାନ ବାହାରିବ ନାହିଁ। ସେଥିପାଇଁ ସମାନ୍ତର ରେଖାର କୌଣସି ସମାଧାନ ନଥାଏ!

ପାଠ ୩: ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ (ଉଦାହରଣ ୧)

📘 ମୂଳ ପାଠ୍ୟ ପୁସ୍ତକ

ଉଦାହରଣ - ୧: ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହ ସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ କର ।
$x + 2y - 3 = 0$ ...... (i)
$2x - y - 1 = 0$ ...... (ii)

ସମାଧାନ: ଲେଖ କାଗଜରେ ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡିକୁ ସ୍ଥାପନ କଲେ ଏମାନେ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ $P(1,1)$ ରେ ଛେଦ କରନ୍ତି। ଅତଏବ ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନଟି $(1,1)$ ।

✏️ ସମାଧାନ (କିପରି କରିବେ?)

ସମୀକରଣ ୧: $x + 2y - 3 = 0$

$y$ କୁ ଏକୁଟିଆ କରନ୍ତୁ: $y = \frac{3 - x}{2}$

$x$ (ଆମେ ଭାବିବା)31
$y$ (ବାହାରିବ)01

ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (3, 0) ଏବଂ (1, 1)

ସମୀକରଣ ୨: $2x - y - 1 = 0$

$y$ କୁ ଏକୁଟିଆ କଲେ: $y = 2x - 1$

$x$ (ଆମେ ଭାବିବା)12
$y$ (ବାହାରିବ)13

ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (1, 1) ଏବଂ (2, 3)

ଯାଦୁ ଦେଖନ୍ତୁ 🤝: (1, 1) ବିନ୍ଦୁଟି ଉଭୟ ଟେବୁଲ୍ ରେ ଅଛି! ତେଣୁ ଗ୍ରାଫ୍ ରେ ରେଖା ଦୁଇଟି ଠିକ୍ (1, 1) ରେ ହିଁ କାଟିବେ। ଉତ୍ତର: $x = 1, y = 1$।

ପାଠ ୪: ଲେଖଚିତ୍ର ଅଭ୍ୟାସ (ମାଇନସ୍ ଚିହ୍ନ)

📘 ମୂଳ ପାଠ୍ୟ ପୁସ୍ତକ

ଉଦାହରଣ - ୨ : ଲେଖ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରି ସମାଧାନ କର : $x - 2y - 7 = 0; x + y + 2 = 0$

✏️ ସମାଧାନ (ମାଇନସ୍ ସଂଖ୍ୟା ସହ ଖେଳ)

ଗ୍ରାଫ୍ ରେ ଶୂନ (0) ର ତଳକୁ କିମ୍ବା ବାମକୁ ଗଲେ ଆମକୁ ମାଇନସ୍ ନମ୍ବର ମିଳେ।

ସମୀକରଣ ୧: $y = \frac{x - 7}{2}$

$x$-13
$y$-4-2

ସମୀକରଣ ୨: $y = -2 - x$

$x$0-2
$y$-20
ସାଧାରଣ ଭୁଲ ⚠️: ଦୁଇଟି ମାଇନସ୍ ପାଖାପାଖି ଆସିଲେ (ଯେମିତିକି $- (-2)$), ସେମାନେ ମିଶି ପ୍ଲସ୍ ($+$) ହୋଇଯାଆନ୍ତି। ଉଦାହରଣ: $-2 - (-2) = -2 + 2 = 0$

ଏହି ଗ୍ରାଫ୍ ଆଙ୍କିଲେ ଛେଦବିନ୍ଦୁ ହେବ (1, -3)। ଅତଏବ ଉତ୍ତର: $x = 1, y = -3$।

ପାଠ ୫: ସମାନ୍ତର ଓ ଏକାକାର ରେଖା (ବିଶେଷ ପରିସ୍ଥିତି)

📘 ମୂଳ ପାଠ୍ୟ ପୁସ୍ତକ

ଉଦାହରଣ - ୩ : ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହ ସମୀକରଣମାନଙ୍କ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଅନନ୍ୟ (ଏକମାତ୍ର) ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ କି ନୁହେଁ ପରୀକ୍ଷା କରି ଦେଖ ।
(a) $x + y - 3 = 0$ ଓ $2x + 2y - 6 = 0$
(b) $x + y - 3 = 0$ ଓ $x + y - 5 = 0$

💡 ସରଳ ବୁଝାମଣା (ସବୁବେଳେ ଉତ୍ତର ମିଳେ ନାହିଁ!)

କେସ୍ ୧: ଛଦ୍ମବେଶୀ ସମୀକରଣ

୧) $x + y = 3$
୨) $2x + 2y = 6$

ଦ୍ୱିତୀୟଟି କେବଳ ପ୍ରଥମଟିର ଦ୍ୱିଗୁଣ! ଏମାନେ ସମାନ ରେଖା।
ଫଳାଫଳ: ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ଥାଏ।

କେସ୍ ୨: ଅସମ୍ଭବ ସର୍ତ୍ତ

୧) $x + y = 3$
୨) $x + y = 5$

ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ମିଶି ୩ ହେବେ ପୁଣି ୫ ବି ହେବେ? ଅସମ୍ଭବ! ଏମାନେ ସମାନ୍ତର ରେଖା।
ଫଳାଫଳ: କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ।

ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ

୧.୪ ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ

📘 ମୂଳ ପାଠ୍ୟ (କେବଳ ଦେଖିବା ପାଇଁ)

1.4 ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ (Conditions of solvability of two linear simultaneous equations):

ମନେକର ଏକଘାତୀ ସହ ସମୀକରଣ ଦୁଇଟି a₁x + b₁y + c₁ = 0 ଓ a₂x + b₂y + c₂ = 0
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣର ଲେଖଚିତ୍ର ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସରଳରେଖା । ଯେଉଁ ଠାରେ a₁, b₁ ଏକ ସଙ୍ଗେ ଶୂନ ନୁହଁନ୍ତି ଓ a₂, b₂ ମଧ୍ୟ ଏକ ସଙ୍ଗେ ଶୂନ ନୁହଁନ୍ତି ।

ଉଦାହରଣ -1 ଏବଂ ଉଦାହରଣ - 2 ରେ ଆମେ ଦେଖିଲେ ଯେ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ମିଳୁଅଛି ।

ଉଦାହରଣ -1 ରୁ ପାଇବା - a₁ = 1, b₁ = 2, c₁ = -3 ଏବଂ a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = -1

∴ a₁a₂ = 12 ଓ b₁b₂ = 2-1 = -2 ⇒ a₁a₂ ≠ b₁b₂

ସେହିପରି ଉଦାହରଣ - 2 କ୍ଷେତ୍ରରେ a₁a₂ = 11 = 1 ଓ b₁b₂ = -21 = -2 ⇒ a₁a₂ ≠ b₁b₂

ଉପରୋକ୍ତ ଅନୁଶୀଳନରୁ ପାଇଲେ, ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି x ର ସହଗ ଦ୍ଵୟର ଅନୁପାତ ଓ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି y ର ସହଗ ଦ୍ଵୟର ଅନୁପାତ ଅସମାନ ହେଲେ ସହସମୀକରଣ ଦୁଇଟିର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ । ଏ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ସଂଗତ ଓ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ବିଶିଷ୍ଟ । କାରଣ ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ଵୟ ପରସ୍ପରକୁ ଏକମାତ୍ର ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି । ଅନ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ କହିଲେ ସହ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସଂଗତ ଓ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର (Consistent and Independent) ।

ଉଦାହରଣ 3(i) ରେ ଆମେ ଦେଖିଲେ ଯେ, a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -3 ଏବଂ a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = -6

ଏଠାରେ a₁a₂ = 12, b₁b₂ = 12 ଓ c₁c₂ = -3-6 = 12

ଅର୍ଥାତ୍ a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂ ଏବଂ ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ହେଉ ନଥିଲା ବେଳେ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ । କାରଣ ଲେଖଚିତ୍ରଦ୍ଵୟ ଏକ ଏବଂ ଅଭିନ୍ନ ଅଟନ୍ତି । ଅନ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ କହିଲେ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସଂଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ (Consistent and Dependent) ।

ଉଦାହରଣ 3(ii) ରେ ଆମେ ଦେଖିଲେ ଯେ a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -3
a₂ = 1, b₂ = 1, c₂ = -5

ଏଠାରେ a₁a₂ = 11 = 1, b₁b₂ = 11 = 1 ଏବଂ c₁c₂ = -3-5 = 35

ଅର୍ଥାତ୍ a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂ ଏବଂ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଦୁଇଟିର କୌଣସି ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ହେଉନାହିଁ । କାରଣ ଲେଖଚିତ୍ର ଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର ଅଟନ୍ତି । ଏପରି କ୍ଷେତ୍ରରେ ସହ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଂଗତ (Inconsistent) ।

💡 ସହଜ ଭାଷାରେ ବୁଝିବା (ମୋ ସହ ଶିଖନ୍ତୁ!)

ଆଜି ଆମେ ଏକ ବହୁତ ମଜାଦାର କଥା ଶିଖିବା। ଧରିନିଅନ୍ତୁ ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି ଗାଣିତିକ ରାସ୍ତା ଅଛି। ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ରାସ୍ତା:

ରାସ୍ତା ୧ (ଲାଲ୍ ରେଖା): a₁x + b₁y + c₁ = 0
ରାସ୍ତା ୨ (ନୀଳ ରେଖା): a₂x + b₂y + c₂ = 0

ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମେ ଦେଖିବା ଯେ ଏହି ଦୁଇଟି ରାସ୍ତା ପରସ୍ପର ସହିତ କିପରି ରହୁଛନ୍ତି। ବିନା ଗ୍ରାଫ୍ ଆଙ୍କି ଆମେ କେବଳ ସେମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା (a, b, c) କୁ ଭାଗ କରି ସବୁକିଛି ଜାଣିପାରିବା!

୧. ଛେଦକ ରେଖା (ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତର)

a₁a₂ ≠ b₁b₂

ଯଦି ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଭାଗଫଳ ସମାନ ନୁହେଁ, ତେବେ ରାସ୍ତା ଦୁଇଟି ଗୋଟିଏ ଛକରେ କାଟିବେ। ମାନେ ଏହାର କେବଳ ଗୋଟିଏ ଠିକ୍ ଉତ୍ତର ଅଛି। ଏହାକୁ ଆମେ "ସଂଗତ ଓ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର" କହିବା।

୨. ଏକା ରାସ୍ତା (ଅସଂଖ୍ୟ ଉତ୍ତର)

a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂

ଯଦି ତିନୋଟି ଯାକ ଭାଗଫଳ ପୁରା ସମାନ, ତେବେ ତାହା ଦୁଇଟି ଅଲଗା ରାସ୍ତା ନୁହେଁ, ବରଂ ଗୋଟିଏ ରାସ୍ତା ଉପରେ ଆଉ ଗୋଟିଏ ରାସ୍ତା ଅଛି! ଏଠି ଅସଂଖ୍ୟ ଉତ୍ତର ମିଳିବ। ଏହାକୁ "ସଂଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ" କହିବା।

୩. ସମାନ୍ତରାଳ ରେଖା (ଉତ୍ତର ନାହିଁ)

a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂

ଯଦି ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ସମାନ କିନ୍ତୁ ଶେଷଟି ଅଲଗା, ତେବେ ରାସ୍ତା ଦୁଇଟି ଟ୍ରେନ୍ ଲାଇନ୍ ପରି ସିଧା ଯିବେ, କେବେବି ଧକ୍କା ହେବେନି। ତେଣୁ କୌଣସି ଉତ୍ତର ମିଳିବ ନାହିଁ। ଏହାକୁ "ଅସଂଗତ" କହିବା।

🤔 ଭାବି ଦେଖନ୍ତୁ ତ: ଯଦି ଦୁଇଜଣ ସାଙ୍ଗ ଅଲଗା ଅଲଗା ସ୍ଥାନରୁ ବାହାରି ଗୋଟିଏ ମନ୍ଦିର ପାଖରେ ଭେଟ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ତାହା ଆମର ୧ମ ନିୟମ (ଛେଦକ ରେଖା)! କେମିତି ଲାଗୁଛି ଗଣିତର ଏହି ଯାଦୁ?
🌍 ଆମ ଚାରିପାଖର ଉଦାହରଣ
  • ✂️ କଇଁଚି (Intersecting): କଇଁଚିର ଦୁଇଟି ଧାର ଠିକ୍ ଗୋଟିଏ ସ୍ଥାନରେ (ନଟ୍ ପାଖରେ) ଛକି ହୋଇଥାଏ। ସେହି ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ ହିଁ ଆମର "ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ"!
  • 🎨 ରଙ୍ଗ ଉପରେ ରଙ୍ଗ (Coincident): କାନ୍ଥରେ ପ୍ରଥମେ ନାଲି ରଙ୍ଗ ଦେଇ ତା' ଉପରେ ପୁଣି ନାଲି ରଙ୍ଗ ଦେଲେ ଦୁଇଟି ଯାକ ସ୍ତର ଏକାଠି ମିଶିଯାଏ। ଏହା ହେଉଛି "ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ"।
  • 🪜 ସିଡ଼ିର ଦୁଇ କଡ଼ (Parallel): ବାଉଁଶ ସିଡ଼ିର ଦୁଇଟି ଲମ୍ବା ବାଉଁଶ କେବେବି ପରସ୍ପରକୁ ଛୁଅଁନ୍ତି ନାହିଁ। ଯେତେ ଲମ୍ବା କଲେ ବି ଭେଟ ହେବେନି। ଏହା ହେଉଛି "ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ"।
✏️ ଏକାଠି ବସି ସମାଧାନ କରିବା!

ପ୍ରଶ୍ନ: ଆସନ୍ତୁ ଦେଖିବା ଏହି ଦୁଇଟି ସମୀକରଣରୁ କି ପ୍ରକାର ଉତ୍ତର ମିଳିବ?
2x + 3y - 5 = 0
4x + 6y - 10 = 0

ଷ୍ଟେପ୍ ୧: ସବୁ ସଂଖ୍ୟାକୁ ବାହାର କରି ଲେଖନ୍ତୁ।
ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ିରୁ: a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -5
ଦ୍ୱିତୀୟ ଧାଡ଼ିରୁ: a₂ = 4, b₂ = 6, c₂ = -10

ଷ୍ଟେପ୍ ୨: ଏବେ ସେମାନଙ୍କୁ ଭାଗ କରନ୍ତୁ।
a₁a₂ = 24 = 12
b₁b₂ = 36 = 12
c₁c₂ = -5-10 = 12

ଷ୍ଟେପ୍ ୩: ମେଳାନ୍ତୁ!
ଆରେ ବାଃ! ତିନୋଟି ଯାକ ଉତ୍ତର ସମାନ ଆସିଲା (12)। ଅର୍ଥାତ୍ a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂।
ଉତ୍ତର: ଏହା ଗୋଟିଏ ଉପରେ ଗୋଟିଏ ଥିବା ରେଖା। ଏହାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ଅଛି।
❓ ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ (ପରୀକ୍ଷା ସମୟ!)

ଖାତା କଲମ ବାହାର କରନ୍ତୁ ଆଉ ଏହି ୩ଟି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଖୋଜନ୍ତୁ। କହିବେ କେଉଁ ନିୟମ ଲାଗୁ ହେବ?

ପ୍ରଶ୍ନ ୧ (ବହୁତ ସହଜ 🟢):
x + y - 4 = 0
2x - 3y + 6 = 0
(ହିଣ୍ଟ: a₁a₂ ଓ b₁b₂ ସମାନ କି? କେବଳ ଏତିକି ଦେଖନ୍ତୁ)
ପ୍ରଶ୍ନ ୨ (ଟିକେ ବୁଲେଇ ଦିଆଯାଇଛି 🟡):
3x + 4y - 12 = 0
6x + 8y - 20 = 0
(ହିଣ୍ଟ: ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ସମାନ ଆସିବ, କିନ୍ତୁ ଶେଷଟି ଦେଖନ୍ତୁ!)
ପ୍ରଶ୍ନ ୩ (ବ୍ରେନ୍ ଗେମ୍ 🔴):
x - 2y = 3
3x - 6y = 9
(ହିଣ୍ଟ: ପ୍ରଥମେ ସମାନ ଚିହ୍ନ ଆରପଟେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏପଟକୁ ଆଣି -3 ଓ -9 କରନ୍ତୁ, ତାପରେ ହିସାବ କରନ୍ତୁ।)
🎯 ମନେ ରଖିବା କଥା (ସର୍ଟକଟ୍)
  • ✅ ଯଦି a₁a₂ ≠ b₁b₂ ହୁଏ, ତେବେ ଉତ୍ତର ହେବ ଗୋଟିଏ।
  • ✅ ଯଦି a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂ ହୁଏ, ତେବେ ଉତ୍ତର ହେବ ଅସଂଖ୍ୟ।
  • ✅ ଯଦି a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂ ହୁଏ, ତେବେ ଉତ୍ତର ବାହାରିବ ନାହିଁ।
🎉 ମଜାଦାର କଥା: ତୁମେ ଜାଣିଛ କି, ତୁମେ ଯେଉଁ ଫୋନ୍ ବା କମ୍ପ୍ୟୁଟରରେ ଗେମ୍ ଖେଳୁଛ, ସେଥିରେ କାର୍ ଗୁଡ଼ିକ ଧକ୍କା ହେବେ କି ନାହିଁ, ତାହା କମ୍ପ୍ୟୁଟର ଏହି ସମୀକରଣ ନିୟମ ଦ୍ୱାରା ହିଁ ସେକେଣ୍ଡ୍ ଭିତରେ ହିସାବ କରିଦିଏ!
ସହସମୀକରଣ - ଅନୁଶୀଳନୀ ୧(a)
📚 ସହସମୀକରଣ: ମଜାଦାର ଗଣିତ (ଭାଗ ୧)
📘 ବହିର ମୂଳ ଲେଖା (Original Text)

(1) ଓ (2) ରୁ ଏହା ସୁସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ k = 6 ହେଲେ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

ଦ୍ରଷ୍ଟବ୍ୟ : k = -6 ହେଲେ

a₁ a₂
=
b₁ b₂
≠
c₁ c₂
ହେତୁ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେବ ଓ k ≠ ± 6 ପାଇଁ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।

(iii) ଏଠାରେ a₁ = 5, b₁ = -3, a₂ = 2, b₂ = k

ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବାର ସର୍ତ୍ତ :

a₁ a₂
=
b₁ b₂
⇒
5 2
=
-3 k

ଅର୍ଥାତ୍ k = -

6 5
ହେଲେ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ ।

ଅନୁଶୀଳନୀ - 1(a)

1. ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।

  1. x + y = 0 ସମୀକରଣ ର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ----- [(4,5), (5,5), (-4, 4), (-4, 5)]
  2. x - 2y = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ----- [(4,2), (-4,2), (4, -2), (-4, -2)]
  3. 2x + y + 2 = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ -----[ (0,2), (2,0), ( -2,0), (0, -2)]
  4. x - 4y + 1 = 0 ହେଲେ x = ----- [4y - 1, 4y+1, -4y+1, -4y -1]
  5. 2x - y + 2 = 0 ହେଲେ y = ----- [2x - 2, 2x+2, 2x - 2, -2x -2]
  6. x - 2y + 3 = 0 ହେଲେ y = ----- [
    12
    (x+3), -
    12
    (x -3), -
    12
    (-x+3), -
    12
    (x+3)]

2. ନିମ୍ନରେ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଯୋଡ଼ିରୁ କେଉଁ ସମୀକରଣ ଯୋଡ଼ି କ୍ଷେତ୍ରରେ (i) ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ (ii) ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ଏବଂ (iii) ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ?

(i) x + y + 1 = 0, x - y + 1 = 0
(ii) x + y + 1 = 0, 2x + 2y + 2 = 0
(iii) x + y + 1 = 0, x + y + 3 = 0
(iv) 2x - y + 3 = 0, -4x + 2y - 6 = 0
(v) 2x - y + 3 = 0, 2x + y - 3 = 0
(vi) 2x - y + 3 = 0, -6x + 3y + 5 = 0

3. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ ଯେ କୌଣସି ତିନିଗୋଟି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିରୂପଣ କର ।

(i) x - y = 0
(ii) x + y = 0
(iii) x - 2y = 0
(iv) x + 2y - 4 = 0
(v) x - 2y - 4 = 0
(vi) 2x - y + 4 = 0
💡 ସହଜ ବୁଝାମଣା (Simple Explanation)

ସମୀକରଣ (Equation) କ'ଣ?

ଭାବନ୍ତୁ, ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଗୋଟିଏ ଓଜନ ଯନ୍ତ୍ର (balance scale)। ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱ ସମାନ ହେବା ଦରକାର! ଯଦି ଆମକୁ ଲେଖାଯାଇଛି x + y = 0, ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଆମେ ଏମିତି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା (x ଏବଂ y) ଖୋଜିବା ଯାହାକୁ ମିଶାଇଲେ ଉତ୍ତର 'ଶୂନ' (0) ହେବ।

ଗ୍ରାଫ୍ ରେ ସମୀକରଣ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣ ଗ୍ରାଫ୍ କାଗଜରେ ଗୋଟିଏ ସିଧା ରାସ୍ତା (ସରଳରେଖା) ପରି ଦେଖାଯାଏ।

ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଥିଲେ କ'ଣ ହେବ?

ଯେତେବେଳେ ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଥାଏ, ଏହା ଦୁଇଟି ରାସ୍ତା ପରି! ଦୁଇଟି ରାସ୍ତା ମଧ୍ୟରେ ୩ଟି ଜିନିଷ ଘଟିପାରେ:

  1. ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ (ଅନନ୍ୟ): ଦୁଇଟି ରାସ୍ତା ପରସ୍ପରକୁ ଗୋଟିଏ ଛକରେ କାଟିବେ। (ସର୍ତ୍ତ:
    a₁a₂
    ≠
    b₁b₂
    )
  2. ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ: ଗୋଟିଏ ରାସ୍ତା ଉପରେ ଆଉ ଗୋଟିଏ ରାସ୍ତା ଅଛି। ପ୍ରତିଟି ପାଦରେ ସେମାନେ ଏକାଠି। (ସର୍ତ୍ତ: ସବୁଗୁଡିକର ଅନୁପାତ ସମାନ)
  3. ସମାଧାନ ନାହିଁ (ଅସଙ୍ଗତ): ଦୁଇଟି ରାସ୍ତା ସମାନ୍ତରାଳ। ସେମାନେ କେବେ ମିଶିବେ ନାହିଁ। (ସର୍ତ୍ତ: a ଏବଂ b ର ଅନୁପାତ ସମାନ, କିନ୍ତୁ c ର ଅଲଗା)
🌍 ବାସ୍ତବ ଜୀବନର ଉଦାହରଣ
❌

ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ (Unique)

ଆପଣ ଏବଂ ଆପଣଙ୍କ ସାଙ୍ଗ ଅଲଗା ଅଲଗା ରାସ୍ତାରେ ଯାଉଛନ୍ତି ଏବଂ ଗୋଟିଏ ମୁଖ୍ୟ ଛକରେ ଦେଖା ହେଲେ। ଏଠାରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ମିଳନ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି!

🛤️

ସମାଧାନ ନାହିଁ (No Solution)

ରେଳ ଧାରଣା (Train tracks)! ଏହି ଦୁଇଟି ଲାଇନ୍ ଯେତେ ବାଟ ଗଲେ ବି କେବେ ପରସ୍ପରକୁ ଛୁଇଁବେ ନାହିଁ।

👫

ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ (Infinite)

ଆପଣ ଏବଂ ସାଙ୍ଗ ହାତ ଧରାଧରି ହୋଇ ଗୋଟିଏ ରାସ୍ତାରେ ଯାଉଛନ୍ତି। ଆପଣଙ୍କର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାଦ ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ମିଳନ ବିନ୍ଦୁ!

📝 ଅନୁଶୀଳନୀ - 1(a) ର ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାଧାନ (Solutions)

୧. ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର:

ଟିପ୍ପଣୀ: ସମୀକରଣରେ x ଏବଂ y ର ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ ଯଦି ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ତାହା ହିଁ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର।
(i) x + y = 0 ସମୀକରଣ ର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ: (-4, 4)
କାରଣ: -4 + 4 = 0 ଅଟେ।
(ii) x - 2y = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ: (4, 2)
କାରଣ: x ଜାଗାରେ 4 ଏବଂ y ଜାଗାରେ 2 ରଖିଲେ: 4 - 2(2) = 4 - 4 = 0।
(iii) 2x + y + 2 = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ: (0, -2)
କାରଣ: 2(0) + (-2) + 2 = 0 - 2 + 2 = 0।
(iv) x - 4y + 1 = 0 ହେଲେ x = 4y - 1
କାରଣ: x କୁ ବାମ ପାଖରେ ରଖି ବାକି ସବୁକୁ ଡାହାଣ ପାଖକୁ ନେଲେ ଚିହ୍ନ ବଦଳିଯିବ। ତେଣୁ x = 4y - 1।
(v) 2x - y + 2 = 0 ହେଲେ y = 2x + 2
କାରଣ: -y କୁ ଡାହାଣକୁ ନେଲେ ଏହା +y ହେବ। ତେଣୁ 2x + 2 = y ବା y = 2x + 2।
(vi) x - 2y + 3 = 0 ହେଲେ y =
12
(x+3)
କାରଣ: -2y କୁ ଡାହାଣକୁ ନେଲେ: x + 3 = 2y ⇒ y =
x + 32
ଯାହାକୁ
12
(x+3) ମଧ୍ୟ ଲେଖାଯାଏ।

୨. କେଉଁ ସମୀକରଣ ଯୋଡ଼ି କ୍ଷେତ୍ରରେ କେଉଁ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ?

ଆମକୁ ଜାଣିବାକୁ ହେବ ଯେ:
• ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ (Unique): ଯଦି

a₁a₂
≠
b₁b₂

• ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ (Infinite): ଯଦି
a₁a₂
=
b₁b₂
=
c₁c₂

• ସମାଧାନ ନାହିଁ (No Solution): ଯଦି
a₁a₂
=
b₁b₂
≠
c₁c₂

(i) x + y + 1 = 0, x - y + 1 = 0
a₁a₂
=
11
,
b₁b₂
=
1-1

ଏଠାରେ
11
≠
1-1
, ତେଣୁ ଏହା ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ।
(ii) x + y + 1 = 0, 2x + 2y + 2 = 0
a₁a₂
=
12
,
b₁b₂
=
12
,
c₁c₂
=
12

ସବୁଗୁଡିକ ସମାନ (
12
=
12
=
12
), ତେଣୁ ଏହା ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ।
(iii) x + y + 1 = 0, x + y + 3 = 0
a₁a₂
=
11
,
b₁b₂
=
11
,
c₁c₂
=
13

ଏଠାରେ
11
=
11
≠
13
, ତେଣୁ ଏହାର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।
(iv) 2x - y + 3 = 0, -4x + 2y - 6 = 0
a₁a₂
=
2-4
(
-12
),
b₁b₂
=
-12
,
c₁c₂
=
3-6
(
-12
)
ସବୁଗୁଡିକ ସମାନ (
-12
=
-12
=
-12
), ତେଣୁ ଏହା ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ।
(v) 2x - y + 3 = 0, 2x + y - 3 = 0
a₁a₂
=
22
(1),
b₁b₂
=
-11
(-1)
ଏଠାରେ 1 ≠ -1, ତେଣୁ ଏହା ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ।
(vi) 2x - y + 3 = 0, -6x + 3y + 5 = 0
a₁a₂
=
2-6
(
-13
),
b₁b₂
=
-13
,
c₁c₂
=
35

ଏଠାରେ
-13
=
-13
≠
35
, ତେଣୁ ଏହାର ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।

୩. ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ ତିନିଗୋଟି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ:

  • (i) x - y = 0 ⇒ x = y
    ଯଦି y = 0 ତେବେ x = 0, ଯଦି y = 1 ତେବେ x = 1, ଯଦି y = 2 ତେବେ x = 2।
    ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (0,0), (1,1), (2,2)
  • (ii) x + y = 0 ⇒ y = -x
    ଯଦି x = 0 ତେବେ y = 0, ଯଦି x = 1 ତେବେ y = -1, ଯଦି x = -1 ତେବେ y = 1।
    ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (0,0), (1,-1), (-1,1)
  • (iii) x - 2y = 0 ⇒ x = 2y
    ଯଦି y = 0 ତେବେ x = 0, ଯଦି y = 1 ତେବେ x = 2, ଯଦି y = 2 ତେବେ x = 4।
    ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (0,0), (2,1), (4,2)
  • (iv) x + 2y - 4 = 0 ⇒ x = 4 - 2y
    ଯଦି y = 0 ତେବେ x = 4, ଯଦି y = 1 ତେବେ x = 2, ଯଦି y = 2 ତେବେ x = 0।
    ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (4,0), (2,1), (0,2)
  • (v) x - 2y - 4 = 0 ⇒ x = 2y + 4
    ଯଦି y = 0 ତେବେ x = 4, ଯଦି y = -1 ତେବେ x = 2, ଯଦି y = -2 ତେବେ x = 0।
    ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (4,0), (2,-1), (0,-2)
  • (vi) 2x - y + 4 = 0 ⇒ y = 2x + 4
    ଯଦି x = 0 ତେବେ y = 4, ଯଦି x = -1 ତେବେ y = 2, ଯଦି x = -2 ତେବେ y = 0।
    ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ: (0,4), (-1,2), (-2,0)
🎓 ପରୀକ୍ଷା ଖାତା ଶୈଳୀ (Exam-Style Answers)

ଅନୁଶୀଳନୀ - 1(a) ର ପରୀକ୍ଷା ଉତ୍ତର

୧. ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର:

(i) ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: x + y = 0
ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ x = -4, y = 4 ନେଲେ, (-4) + 4 = 0 ହେଉଛି।
ଉତ୍ତର: (-4, 4)
(ii) ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: x - 2y = 0
ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ x = 4, y = 2 ନେଲେ, 4 - 2(2) = 4 - 4 = 0 ହେଉଛି।
ଉତ୍ତର: (4, 2)
(iii) ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: 2x + y + 2 = 0
x = 0, y = -2 ନେଲେ, 2(0) + (-2) + 2 = 0 - 2 + 2 = 0 ହେଉଛି।
ଉତ୍ତର: (0, -2)
(iv) x - 4y + 1 = 0
⇒ x = 4y - 1
ଉତ୍ତର: 4y - 1
(v) 2x - y + 2 = 0
⇒ 2x + 2 = y ⇒ y = 2x + 2
ଉତ୍ତର: 2x + 2
(vi) x - 2y + 3 = 0
⇒ x + 3 = 2y ⇒ y =
12
(x + 3)
ଉତ୍ତର:
12
(x + 3)

୨. ସମାଧାନର ପ୍ରକାରଭେଦ:

(i) ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: x + y + 1 = 0 ଏବଂ x - y + 1 = 0
ଏଠାରେ
a₁a₂
=
11
= 1,
b₁b₂
=
1-1
= -1
ଯେହେତୁ
a₁a₂
≠
b₁b₂
, ତେଣୁ ଏହି ସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ।
(ii) ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: x + y + 1 = 0 ଏବଂ 2x + 2y + 2 = 0
ଏଠାରେ
a₁a₂
=
12
,
b₁b₂
=
12
,
c₁c₂
=
12

ଯେହେତୁ
a₁a₂
=
b₁b₂
=
c₁c₂
, ତେଣୁ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ।
(iii) ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: x + y + 1 = 0 ଏବଂ x + y + 3 = 0
ଏଠାରେ
a₁a₂
=
11
= 1,
b₁b₂
=
11
= 1,
c₁c₂
=
13

ଯେହେତୁ
a₁a₂
=
b₁b₂
≠
c₁c₂
, ତେଣୁ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।
(iv) ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: 2x - y + 3 = 0 ଏବଂ -4x + 2y - 6 = 0
ଏଠାରେ
a₁a₂
=
2-4
=
-12
,
b₁b₂
=
-12
,
c₁c₂
=
3-6
=
-12

ଯେହେତୁ ସମସ୍ତ ଅନୁପାତ ସମାନ, ତେଣୁ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ।
(v) ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: 2x - y + 3 = 0 ଏବଂ 2x + y - 3 = 0
ଏଠାରେ
a₁a₂
=
22
= 1,
b₁b₂
=
-11
= -1
ଯେହେତୁ
a₁a₂
≠
b₁b₂
, ତେଣୁ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ।
(vi) ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ: 2x - y + 3 = 0 ଏବଂ -6x + 3y + 5 = 0
ଏଠାରେ
a₁a₂
=
2-6
=
-13
,
b₁b₂
=
-13
,
c₁c₂
=
35

ଯେହେତୁ
a₁a₂
=
b₁b₂
≠
c₁c₂
, ତେଣୁ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।

୩. ଲେଖଚିତ୍ର ପାଇଁ ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିରୂପଣ:

(i) x - y = 0 ⇒ x = y
x012
y012
ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ: (0,0), (1,1), (2,2)
(ii) x + y = 0 ⇒ y = -x
x01-1
y0-11
ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ: (0,0), (1,-1), (-1,1)
(iii) x - 2y = 0 ⇒ x = 2y
x024
y012
ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ: (0,0), (2,1), (4,2)
(iv) x + 2y - 4 = 0 ⇒ x = 4 - 2y
x420
y012
ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ: (4,0), (2,1), (0,2)
(v) x - 2y - 4 = 0 ⇒ x = 2y + 4
x420
y0-1-2
ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ: (4,0), (2,-1), (0,-2)
(vi) 2x - y + 4 = 0 ⇒ y = 2x + 4
x0-1-2
y420
ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ବିନ୍ଦୁତ୍ରୟ: (0,4), (-1,2), (-2,0)
Think About It 🤔
ଯଦି ଆପଣ ଗ୍ରାଫ୍ ରେ x = y ଆଙ୍କିବେ, ଏହା କେମିତି ଦେଖାଯିବ? ଏହା ଗ୍ରାଫ୍ ର ମଝିରେ ସିଧା କୋଣାକୋଣି ଭାବରେ ଯାଇଥିବା ଗୋଟିଏ ରେଖା ହେବ, ଯେଉଁଠି (1,1), (2,2), (3,3) ସବୁ ସମାନ ହୋଇଥିବେ!
🎯 ମୁଖ୍ୟ ଶିକ୍ଷା (Key Takeaways)
  • ସମୀକରଣରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସର୍ତ୍ତକୁ ପୂରଣ କରୁଥିବା (x, y) ର ମୂଲ୍ୟ ହିଁ ସେହି ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ।
  • ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ କାଟିଲେ ତାହାକୁ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ କୁହାଯାଏ।
  • ଯଦି a₁/a₂ ଏବଂ b₁/b₂ ସମାନ ନୁହଁନ୍ତି, ତେବେ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ।
  • ଗ୍ରାଫ୍ ପାଇଁ ୩ଟି ବିନ୍ଦୁ ବାହାର କରିବା ସବୁଠାରୁ ନିରାପଦ, ଯାହାଦ୍ୱାରା ରେଖାଟି ସିଧା ହେବ ବୋଲି ନିଶ୍ଚିତ ହୋଇପାରିବା।

About

Making Class 10 Math finally make sense. We provide step-by-step solutions and clear study guides designed exclusively for BSE Odisha students. Let’s level up! ✨

  • (+91) 700-8xx-xx36
  • admin@bseodishamatrix.in

Company

The Matrix Theme

matriX

System Status

Server: : 100% Online

Brainpower: : Fully Charged 🔋

Downtime: : Math never sleeps, and neither do our study materials.

LIfe at MatriX

Life at MatriX

©2026 BSE Odisha MatriX. All Rights Reserved

Follow us: