ଅନୁଶୀଳନୀ - 1(a)
1. ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ୟରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
ବୁଝିବା ପାଇଁ ଟିପ୍ପଣୀ: (x, y) ର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟାଟି x ଏବଂ ଦ୍ଵିତୀୟଟି y । ସମୀକରଣରେ ପକାଇଲେ ଯଦି ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ ତାହା ଠିକ୍ ଉତ୍ତର ।
(i) x + y = 0 ସମୀକରଣ ର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ----- [(4,5), (5,5), (-4, 4), (-4, 5)]
ଯଦି ଆମେ (-4, 4) ନେବା, ତେବେ x = -4 ଏବଂ y = 4.
-4 + 4 = 0 ହେଉଛି ।
ଉତ୍ତର: (-4, 4)
(ii) x - 2y = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ----- [(4,2), (-4,2), (4, -2), (-4,-2)]
ଯଦି ଆମେ (4, 2) ନେବା, ତେବେ x = 4 ଏବଂ y = 2.
4 - 2(2) = 4 - 4 = 0 ହେଉଛି ।
ଉତ୍ତର: (4, 2)
(iii) 2x + y + 2 = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ----- [(0,2), (2,0), (-2,0), (0, -2)]
ଯଦି ଆମେ (0, -2) ନେବା, x = 0, y = -2.
2(0) + (-2) + 2 = 0 - 2 + 2 = 0 ହେଉଛି ।
ଉତ୍ତର: (0, -2)
(iv) x - 4y + 1 = 0 ହେଲେ x = ----- [4y - 1, 4y + 1, -4y + 1, -4y - 1]
x କୁ ବାମ ପଟେ ରଖି ବାକି ସବୁକୁ ଡାହାଣକୁ ନେଲେ ଚିହ୍ନ ବଦଳିଯିବ ।
-4y ଡାହାଣକୁ ଗଲେ +4y ହେବ ଏବଂ +1 ଗଲେ -1 ହେବ ।
ଉତ୍ତର: 4y - 1
(v) 2x - y + 2 = 0 ହେଲେ y = ----- [2x - 2, 2x + 2, 2x - 2, -2x - 2]
-y କୁ ଡାହାଣକୁ ନେଇଗଲେ ତାହା +y ହୋଇଯିବ ।
ତେଣୁ 2x + 2 = y ଅର୍ଥାତ୍ y = 2x + 2 ।
ଉତ୍ତର: 2x + 2
(vi) x - 2y + 3 = 0 ହେଲେ y = ----- [12(x+3), -12(x-3), -12(-x+3), -12(x+3)]
-2y କୁ ଡାହାଣକୁ ନେଲେ: x + 3 = 2y.
y ସହିତ ଗୁଣା ହୋଇଥିବା 2 କୁ ବାମକୁ ଆଣିଲେ ତାହା ହରଣ ହେବ । ତେଣୁ y = x+32 ବା 12(x+3) ।
ଉତ୍ତର: 12(x + 3)
2. ନିମ୍ନରେ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଯୋଡ଼ିରୁ କେଉଁ କ୍ଷେତ୍ରରେ (i) ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ, (ii) ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ, (iii) ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ ?
ସୂତ୍ର ମନେରଖନ୍ତୁ:
I. ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ (ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତର): a₁a₂ ≠ b₁b₂
II. ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ: a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂
III. ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ: a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂
I. ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ (ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତର): a₁a₂ ≠ b₁b₂
II. ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ: a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂
III. ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ: a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂
(i) x + y + 1 = 0, x - y + 1 = 0
a₁=1, b₁=1. a₂=1, b₂=-1.
a₁a₂ = 11 = 1. b₁b₂ = 1-1 = -1.
ଯେହେତୁ 1 ≠ -1, ସେଥିପାଇଁ a₁a₂ ≠ b₁b₂.
ଉତ୍ତର: (i) ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।
(ii) x + y + 1 = 0, 2x + 2y + 2 = 0
a₁a₂ = 12. b₁b₂ = 12. c₁c₂ = 12.
ସବୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ (12). ଅର୍ଥାତ୍ a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂.
ଉତ୍ତର: (ii) ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।
(iii) x + y + 1 = 0, x + y + 3 = 0
a₁a₂ = 11 = 1. b₁b₂ = 11 = 1. c₁c₂ = 13.
ଏଠାରେ 1 = 1 କିନ୍ତୁ 1 ≠ 13. ଅର୍ଥାତ୍ a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂.
ଉତ୍ତର: (iii) ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
(iv) 2x - y + 3 = 0, -4x + 2y - 6 = 0
a₁a₂ = 2-4 = -12. b₁b₂ = -12. c₁c₂ = 3-6 = -12.
ସବୁଗୁଡ଼ିକ ସମାନ. ଅର୍ଥାତ୍ a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂.
ଉତ୍ତର: (ii) ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।
(v) 2x - y + 3 = 0, 2x + y - 3 = 0
a₁a₂ = 22 = 1. b₁b₂ = -11 = -1.
ଯେହେତୁ 1 ≠ -1, ସେଥିପାଇଁ a₁a₂ ≠ b₁b₂.
ଉତ୍ତର: (i) ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।
(vi) 2x - y + 3 = 0, -6x + 3y + 5 = 0
a₁a₂ = 2-6 = -13. b₁b₂ = -13. c₁c₂ = 35.
-13 = -13 କିନ୍ତୁ -13 ≠ 35. ଅର୍ଥାତ୍ a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂.
ଉତ୍ତର: (iii) ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
3. ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିରୂପଣ କର ।
ବିନ୍ଦୁ ବାହାର କରିବା ପାଇଁ ପ୍ରଥମେ y କୁ ଗୋଟିଏ ପଟେ ଏକୁଟିଆ ରଖନ୍ତୁ । ତା'ପରେ x ର ମନଇଚ୍ଛା ମୂଲ୍ୟ (ଯେପରି 0, 1, 2) ନେଇ y ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରନ୍ତୁ ।
(i) x - y = 0
ସମୀକରଣ: y = x
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 1 | 2 |
ବିନ୍ଦୁ: (0,0), (1,1), (2,2)
(ii) x + y = 0
ସମୀକରଣ: y = -x
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | -1 | -2 |
ବିନ୍ଦୁ: (0,0), (1,-1), (2,-2)
(iii) x - 2y = 0
ସମୀକରଣ: y = x2
| x | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 1 | 2 |
ବିନ୍ଦୁ: (0,0), (2,1), (4,2)
(iv) x + 2y - 4 = 0
ସମୀକରଣ: y = 4 - x2
| x | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | 2 | 1 | 0 |
ବିନ୍ଦୁ: (0,2), (2,1), (4,0)
(v) x - 2y - 4 = 0
ସମୀକରଣ: y = x - 42
| x | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | -2 | -1 | 0 |
ବିନ୍ଦୁ: (0,-2), (2,-1), (4,0)
(vi) 2x - y + 4 = 0
ସମୀକରଣ: y = 2x + 4
| x | 0 | -1 | -2 |
|---|---|---|---|
| y | 4 | 2 | 0 |
ବିନ୍ଦୁ: (0,4), (-1,2), (-2,0)
4. ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର ଆବଶ୍ୟକ ।
(i) kx + my + 4 = 0 ଓ 2x + y + 1 = 0 ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ଅସଂଗତ (No Solution) ହେଲେ k : m କେତେ ?
ଅସଂଗତ ସର୍ତ୍ତ: a₁a₂ = b₁b₂
ମୂଲ୍ୟ ପକାଇଲେ: k2 = m1
m କୁ ତଳକୁ ଓ 2 କୁ ଉପରକୁ ନେଲେ: km = 21
ଉତ୍ତର: k : m = 2 : 1
(ii) 2x + 3y - 5 = 0 ଓ 7x - 6y - 1 = 0 ର ସମାଧାନ (1, β) ହେଲେ β ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ?
(1, β) ର ଅର୍ଥ x = 1 ଏବଂ y = β । ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରେ ପକାନ୍ତୁ:
2(1) + 3(β) - 5 = 0 => 2 + 3β - 5 = 0
3β - 3 = 0 => 3β = 3 => β = 1
ଉତ୍ତର: β = 1
(iii) 't' ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ (1, 1), ସମୀକରଣ 3x + ty - 6 = 0 ର ଏକ ସମାଧାନ ହେବ ?
x = 1 ଏବଂ y = 1 ପକାନ୍ତୁ ।
3(1) + t(1) - 6 = 0 => 3 + t - 6 = 0
t - 3 = 0 => t = 3
ଉତ୍ତର: t = 3
(iv) 't' ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ (1, 1), tx - 2y - 10 = 0 ର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ହେବ ?
x = 1 ଏବଂ y = 1 ପକାନ୍ତୁ ।
t(1) - 2(1) - 10 = 0 => t - 2 - 10 = 0
t - 12 = 0 => t = 12
ଉତ୍ତର: t = 12
(v) 't' ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ tx + 2y = 0 ଓ 3x + ty = 0 ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ?
ସର୍ତ୍ତ: a₁a₂ = b₁b₂
t3 = 2t
ବଜ୍ରଗୁଣନ କଲେ: t × t = 3 × 2 => t² = 6 => t = ±√6
ଉତ୍ତର: t = ±√6
(vi) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 6x - 3y + 10 = 0 ଓ 2x - y + 9 = 0 ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ ।
a₁a₂ = 62 = 3. b₁b₂ = -3-1 = 3. c₁c₂ = 109.
ଯେହେତୁ a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂ (ଅର୍ଥାତ୍ 3 = 3 ≠ 109), ତେଣୁ ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ । (ପ୍ରମାଣିତ)
(vii) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 2x + 5y = 17 ଏବଂ 5x + 3y = 14 ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସଂଗତ ଓ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ।
a₁a₂ = 25. b₁b₂ = 53.
ଯେହେତୁ 25 ≠ 53, ଅର୍ଥାତ୍ a₁a₂ ≠ b₁b₂, ତେଣୁ ଏହା ସଂଗତ ଓ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର (ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ) । (ପ୍ରମାଣିତ)
(viii) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 3x - 5y - 10 = 0 ଏବଂ 6x - 10y = 20 ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିଛି ।
ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣକୁ ସଜାଡି ଲେଖିଲେ: 6x - 10y - 20 = 0
a₁a₂ = 36 = 12. b₁b₂ = -5-10 = 12. c₁c₂ = -10-20 = 12.
ଯେହେତୁ a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂, ତେଣୁ ଏହାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିଛି । (ପ୍ରମାଣିତ)
5. ଲେଖଚିତ୍ର (Graph) ସାହାଯ୍ୟରେ ସମାଧାନ କର ।
ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନର ପଦକ୍ଷେପ (Step-by-Step Guide):
I. ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣରେ y କୁ x ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରନ୍ତୁ ।
II. x ର ଦୁଇ ବା ତିନୋଟି ସହଜ ମୂଲ୍ୟ ନେଇ y ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରି ଏକ ଟେବୁଲ୍ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ।
III. ଗ୍ରାଫ୍ ପେପରରେ x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷ ଟାଣି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ ।
IV. ରେଖାଦ୍ଵୟ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରିବେ, ସେହି (x, y) ହିଁ ସଠିକ୍ ସମାଧାନ ଅଟେ ।
I. ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣରେ y କୁ x ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରନ୍ତୁ ।
II. x ର ଦୁଇ ବା ତିନୋଟି ସହଜ ମୂଲ୍ୟ ନେଇ y ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରି ଏକ ଟେବୁଲ୍ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ।
III. ଗ୍ରାଫ୍ ପେପରରେ x-ଅକ୍ଷ ଓ y-ଅକ୍ଷ ଟାଣି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସରଳରେଖା ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ ।
IV. ରେଖାଦ୍ଵୟ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରିବେ, ସେହି (x, y) ହିଁ ସଠିକ୍ ସମାଧାନ ଅଟେ ।
5.(i) x + y - 4 = 0 ଓ x - y = 0
L1: y = 4 - x
| x | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | 4 | 2 | 0 |
L2: y = x
| x | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 2 | 4 |
ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ: (2, 2)
5.(ii) x - y = 0 ଓ x + y - 2 = 0
L1: y = x
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 1 | 2 |
L2: y = 2 - x
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | 2 | 1 | 0 |
ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ: (1, 1)
5.(iii) x + y = 0 ଓ -x + y - 2 = 0
L1: y = -x
| x | -2 | -1 | 0 |
|---|---|---|---|
| y | 2 | 1 | 0 |
L2: y = x + 2
| x | -2 | -1 | 0 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 1 | 2 |
ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ: (-1, 1)
5.(iv) 2x + y - 3 = 0 ଓ x + y - 2 = 0
L1: y = 3 - 2x
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | 3 | 1 | -1 |
L2: y = 2 - x
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | 2 | 1 | 0 |
ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ: (1, 1)
5.(v) 3x + y + 2 = 0 ଓ 2x + y + 1 = 0
L1: y = -3x - 2
| x | -2 | -1 | 0 |
|---|---|---|---|
| y | 4 | 1 | -2 |
L2: y = -2x - 1
| x | -2 | -1 | 0 |
|---|---|---|---|
| y | 3 | 1 | -1 |
ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ: (-1, 1)
5.(vi) x + 2y + 3 = 0 ଓ 2x + y + 3 = 0
L1: y = -x - 32
| x | -3 | -1 | 1 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | -1 | -2 |
L2: y = -2x - 3
| x | -2 | -1 | 0 |
|---|---|---|---|
| y | 1 | -1 | -3 |
ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ: (-1, -1)
5.(vii) 2x + y - 6 = 0 ଓ 2x - y + 2 = 0
L1: y = 6 - 2x
| x | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | 4 | 2 | 0 |
L2: y = 2x + 2
| x | -1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 2 | 4 |
ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ: (1, 4)
5.(viii) x + y - 1 = 0 ଓ 2x + y - 8 = 0
L1: y = 1 - x
| x | 0 | 4 | 7 |
|---|---|---|---|
| y | 1 | -3 | -6 |
L2: y = 8 - 2x
| x | 2 | 4 | 7 |
|---|---|---|---|
| y | 4 | 0 | -6 |
ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ: (7, -6)
5.(ix) 3x + y - 11 = 0 ଓ x - y - 1 = 0
L1: y = 11 - 3x
| x | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | 5 | 2 | -1 |
L2: y = x - 1
| x | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 1 | 2 |
ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ: (3, 2)
5.(x) 2x - 3y - 5 = 0 ଓ -4x + 6y - 3 = 0
L1: y = 2x - 53
| x | -2 | 1 | 4 |
|---|---|---|---|
| y | -3 | -1 | 1 |
L2: y = 4x + 36
| x | -3 | 0 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | -1.5 | 0.5 | 2.5 |
ସମାନ୍ତରାଳ ରେଖା (ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ)
5.(xi) 2x + y + 2 = 0 ଓ 4x - y - 8 = 0
L1: y = -2x - 2
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | -2 | -4 | -6 |
L2: y = 4x - 8
| x | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | -4 | 0 | 4 |
ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ: (1, -4)
5.(xii) 3x + 4y - 7 = 0 ଓ 5x + 2y - 7 = 0
L1: y = 7 - 3x4
| x | -3 | 1 | 5 |
|---|---|---|---|
| y | 4 | 1 | -2 |
L2: y = 7 - 5x2
| x | -1 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | 6 | 1 | -4 |
ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ: (1, 1)
6. ପ୍ରମାଣ କର (ଲେଖଚିତ୍ର ସାହାଯ୍ୟରେ):
6.(i) 2x - 2y = 2 ଏବଂ 4x - 4y - 8 = 0
ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ
ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ
L1: y = x - 1
| x | 0 | 2 |
|---|---|---|
| y | -1 | 1 |
L2: y = x - 2
| x | 0 | 2 |
|---|---|---|
| y | -2 | 0 |
ଗ୍ରାଫ୍ରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ରେଖାଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତରାଳ, ତେଣୁ ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ । (ପ୍ରମାଣିତ)
6.(ii) 2x - 3y = 1 ଏବଂ 3x - 4y = 1
ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ
ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ
L1: y = 2x - 13
| x | -1 | 2 |
|---|---|---|
| y | -1 | 1 |
L2: y = 3x - 14
| x | -1 | 3 |
|---|---|---|
| y | -1 | 2 |
ଗ୍ରାଫ୍ରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ଗୋଟିଏ ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ (-1,-1) ଅଛି । (ପ୍ରମାଣିତ)
6.(iii) 9x + 3y + 12 = 0 ଏବଂ 18x + 6y + 24 = 0
ସଂଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ
ସଂଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ
L1 & L2: y = -3x - 4
| x | -2 | -1 | 0 |
|---|---|---|---|
| y | 2 | -1 | -4 |
ଉଭୟ ସମୀକରଣ ସମାନ ।
ଗୋଟିଏ ରେଖା ଅନ୍ୟଟି ଉପରେ ରହିଛି । ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ଅଛି । (ପ୍ରମାଣିତ)
6.(iv) 2x - y = 1 ଏବଂ x + 2y = 8
y-ଛେଦାଂଶ ନିରୂପଣ
y-ଛେଦାଂଶ ନିରୂପଣ
L1: y = 2x - 1
| x | 0 | 2 |
|---|---|---|
| y | -1 | 3 |
L2: y = 8 - x2
| x | 0 | 2 |
|---|---|---|
| y | 4 | 3 |
ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ (2, 3) ।
L1 ର y-ଛେଦାଂଶ: -1
L2 ର y-ଛେଦାଂଶ: 4
L1 ର y-ଛେଦାଂଶ: -1
L2 ର y-ଛେଦାଂଶ: 4
7. ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ହେଲେ k ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନର ସୂତ୍ର ହେଉଛି: a₁a₂ ≠ b₁b₂. (ବଜ୍ରଗୁଣନ ବା Cross-multiply କରି k ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରିବା)
(i) x - 2y - 3 = 0,
3x + ky - 1 = 0
3x + ky - 1 = 0
13 ≠ -2k
ବଜ୍ରଗୁଣନ: 1 × k ≠ 3 × (-2)
ଉତ୍ତର: k ≠ -6
(ii) kx - y - 2 = 0,
6x + 2y - 3 = 0
6x + 2y - 3 = 0
k6 ≠ -12
k ≠ 6 × (-12)
ଉତ୍ତର: k ≠ -3
(iii) kx + 3y + 8 = 0,
12x + 5y - 2 = 0
12x + 5y - 2 = 0
k12 ≠ 35
k ≠ 3 × 125
ଉତ୍ତର: k ≠ 365
(iv) kx + 2y = 5,
3x + y = 1
3x + y = 1
k3 ≠ 21
k ≠ 3 × 2
ଉତ୍ତର: k ≠ 6
(v) x - ky = 2,
3x + 2y + 5 = 0
3x + 2y + 5 = 0
13 ≠ -k2
3 × (-k) ≠ 2 => -3k ≠ 2
ଉତ୍ତର: k ≠ -23
(vi) 4x - ky = 5,
2x - 3y = 12
2x - 3y = 12
42 ≠ -k-3
2 ≠ k3 => k ≠ 2 × 3
ଉତ୍ତର: k ≠ 6
8. ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିଲେ k ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନର ସୂତ୍ର ହେଉଛି: a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂. ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟିକୁ ନେଇ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ।
(i) 7x - y - 5 = 0,
21x - 3y - k = 0
21x - 3y - k = 0
721 = -1-3 = -5-k
13 = 5k
ଉତ୍ତର: k = 15
(ii) 8x + 2y - 9 = 0,
kx + 10y - 18 = 0
kx + 10y - 18 = 0
8k = 210 = -9-18
8k = 15 = 12
ଏଠାରେ 15 ଆଉ 12 ସମାନ ନୁହେଁ! ତେଣୁ ଏହା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
ଉତ୍ତର: k ର କୌଣସି ମାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ
(iii) kx - 2y + 6 = 0,
4x - 3y + 9 = 0
4x - 3y + 9 = 0
k4 = -2-3 = 69
k4 = 23
ଉତ୍ତର: k = 83
(iv) 2x + 3y = 5,
6x + ky = 15
6x + ky = 15
26 = 3k = 515
13 = 3k
ଉତ୍ତର: k = 9
(v) 5x + 2y = k,
10x + 4y = 3
10x + 4y = 3
510 = 24 = k3
12 = k3
ଉତ୍ତର: k = 32
(vi) kx - 2y - 6 = 0,
4x + 3y + 9 = 0
4x + 3y + 9 = 0
k4 = -23 = -69
k4 = -23
ଉତ୍ତର: k = -83
9. ଅସଂଗତ (No Solution) ହେଲେ k ର ମାନ ସ୍ଥିର କର ।
ଅସଂଗତ ର ସୂତ୍ର ହେଉଛି: a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂. ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି (a ଆଉ b) କୁ ସମାନ କରି k ବାହାର କରନ୍ତୁ ।
(i) 8x + 5y - 9 = 0,
kx + 10y - 15 = 0
kx + 10y - 15 = 0
8k = 510
8k = 12
ବଜ୍ରଗୁଣନ: k = 8 × 2
ଉତ୍ତର: k = 16
(ii) kx - 5y - 2 = 0,
6x + 2y - 7 = 0
6x + 2y - 7 = 0
k6 = -52
k = 6 × (-52)
k = -302
ଉତ୍ତର: k = -15
(iii) kx + 2y - 3 = 0,
5x + 5y - 7 = 0
5x + 5y - 7 = 0
k5 = 25
ତଳେ ଥିବା 5 କଟିଯିବ ।
ଉତ୍ତର: k = 2
(iv) kx - y - 2 = 0,
6x - 2y - 3 = 0
6x - 2y - 3 = 0
k6 = -1-2
k6 = 12
k = 62
ଉତ୍ତର: k = 3
(v) x + 2y - 5 = 0,
8x + ky - 10 = 0
8x + ky - 10 = 0
18 = 2k
ବଜ୍ରଗୁଣନ: k = 8 × 2
ଉତ୍ତର: k = 16
(vi) 3x - 4y + 7 = 0,
kx + 3y - 5 = 0
kx + 3y - 5 = 0
3k = -43
ବଜ୍ରଗୁଣନ: -4k = 9
k = 9-4
ଉତ୍ତର: k = -94
