ସରଳ ସହସମୀକରଣ - Class 10 Math

ଅଧ୍ୟାୟ 1: ସରଳ ସହସମୀକରଣ
(Linear Simultaneous Equations)

୧. ଉପକ୍ରମଣିକା (ସହଜରେ ବୁଝିବା ଆସ)

ପିଲାମାନେ, ଗଣିତ କୌଣସି କଷ୍ଟ ବିଷୟ ନୁହେଁ। ଏହା କେବଳ ଟିକିଏ ଧ୍ୟାନ ଏବଂ ବୁଝିବାର ଖେଳ। ତୁମେମାନେ ଦୋକାନରେ ଓଜନ କରାଯାଉଥିବା ତରାଜୁ (Weighing Scale) ନିଶ୍ଚୟ ଦେଖିଥିବ। ଗୋଟିଏ ପଟେ ବଟକରା (weight) ରଖାଯାଏ ଓ ଅନ୍ୟ ପଟେ ପରିବା ରଖାଯାଏ। ଯେତେବେଳେ ଦୁଇ ପଟ ସମାନ ହୋଇଯାଏ, ତରାଜୁଟି ସିଧା ରହେ।

ଠିକ୍ ସେହିପରି, ଗଣିତରେ ଯେତେବେଳେ ଦୁଇଟି ଜିନିଷ ସମାନ ହୋଇଥାଏ, ଆମେ ତାଙ୍କ ମଝିରେ = (ସମାନ) ଚିହ୍ନ ଲଗାଉ। ଏହି ସମାନ ଚିହ୍ନ ଥିବା ଗାଣିତିକ ବାକ୍ୟକୁ ହିଁ ସମୀକରଣ (Equation) କୁହାଯାଏ। ଏହାର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ (LHS) ଏବଂ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱ (RHS) ସବୁବେଳେ ସମାନ ଥାଏ।

ନୂଆ ଶବ୍ଦଗୁଡିକର ଅର୍ଥ ଶିଖିବା:

ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି (Variable): ଯାହାର ମୂଲ୍ୟ ଆମକୁ ଜଣା ନାହିଁ। ଆମେ ଏହାକୁ ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର x, y, z ଇତ୍ୟାଦି ଦ୍ୱାରା ଲେଖୁ। ଏହାର ମୂଲ୍ୟ ବଦଳିପାରେ।
ଧ୍ରୁବକ (Constant): ଯାହାର ମୂଲ୍ୟ କେବେ ବଦଳେ ନାହିଁ (ଯେପରିକି ସଂଖ୍ୟା 2, 5, -10)। 5 ସବୁବେଳେ 5 ହିଁ ରହିବ।
ସହଗ (Coefficient): ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ସହିତ ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟାଟି ଗୁଣା ହୋଇ ରହିଥାଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, 3x ରେ x ର ସହଗ ହେଉଛି 3।

୨. ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଥିବା ସମୀକରଣ (ପୁରୁଣା ପାଠ ମନେ ପକାଇବା)

ଯେତେବେଳେ ଆମକୁ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଜିନିଷ ବାହାର କରିବାର ଥାଏ, ଆମେ ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି (ଯେମିତିକି କେବଳ x) ବ୍ୟବହାର କରୁ। ଏହାର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ (power) 1 ହୋଇଥିବାରୁ ଏହାକୁ 'ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣ' ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ।

ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ସୂତ୍ର (Formula)

ax + b = 0

ଏଠାରେ x ହେଉଛି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି। a ଏବଂ b ହେଉଛନ୍ତି ସଂଖ୍ୟା।
ସର୍ତ୍ତ: a କେବେବି ଶୂନ (0) ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ।

ଉଦାହରଣ 1: ଗୋଟିଏ ରାଶିର ସମାଧାନ କରିବା ଶିଖିବା

ପ୍ରଶ୍ନ: ସମାଧାନ କର 2x + 6 = 0

ଲକ୍ଷ୍ୟ: ଆମକୁ କେବଳ x ର ମୂଲ୍ୟ ଦରକାର। ତେଣୁ ଆମେ x କୁ ଏକାକୀ (ବାମ ପଟେ) ରଖିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରିବା ଏବଂ ବାକି ସବୁ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଡାହାଣ ପଟକୁ ନେଇଯିବା।

2x + 6 = 0

ପ୍ରଶ୍ନ: ଏହା ହେଉଛି ଆମକୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ସମୀକରଣ।

2x = -6

କାହିଁକି? ଆମେ +6 କୁ ବାମରୁ ଡାହାଣକୁ ନେଲୁ। ଗଣିତ ନିୟମ ଅନୁସାରେ, ପାର୍ଶ୍ୱ ବଦଳିଲେ ଚିହ୍ନ ବଦଳିଯାଏ। ତେଣୁ +6 ହୋଇଗଲା -6।

x =

-62

କାହିଁକି? ଆମକୁ କେବଳ 'x' ଦରକାର, '2x' ନୁହେଁ। x ସହ 2 ଗୁଣା ହୋଇ ରହିଥିଲା। ତେଣୁ ଡାହାଣକୁ ଗଲେ ତାହା ହରଣ (divide) ହୋଇଯିବ।

x = -3

ଶେଷ ଉତ୍ତର: -6 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ହରିଲେ ଆମେ ପାଇବା -3।

୩. ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଥିବା ସମୀକରଣ (Two Variables)

ବର୍ତ୍ତମାନ ଭାବ, ଆମକୁ ଗୋଟିଏ ନୁହେଁ ବରଂ ଦୁଇଟି ଅଲଗା ଅଲଗା ଜିନିଷର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରିବାର ଅଛି। ସେତେବେଳେ ଆମେ ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି x ଏବଂ y ବ୍ୟବହାର କରିବା। ଏହାକୁ ଆମେ ଆମର ଏକ ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନର ଉଦାହରଣ ସହ ଖୁବ୍ ସହଜରେ ବୁଝିବା।

ଗୋଟିଏ ମଜାଦାର ଉଦାହରଣ: ଧର ତୁମେ ସ୍କୁଲ୍ ପାଖ ଦୋକାନକୁ ଗଲ। ତୁମେ 2 ଟି ସିଙ୍ଗଡ଼ା ଏବଂ 3 ଟି ଆଳୁ ଚପ୍ ଖାଇଲ। ଦୋକାନୀ ତୁମକୁ ମୋଟ 20 ଟଙ୍କା ମାଗିଲେ। କିନ୍ତୁ ତୁମକୁ ଗୋଟିଏ ସିଙ୍ଗଡ଼ାର ଦାମ୍ କେତେ କିମ୍ବା ଆଳୁ ଚପ୍ ର ଦାମ୍ କେତେ, ତାହା ଜଣା ନାହିଁ।

ଗଣିତ ଭାଷାରେ କିପରି ଲେଖିବା?
ଧରାଯାଉ ଗୋଟିଏ ସିଙ୍ଗଡ଼ାର ଦାମ୍ = x ଟଙ୍କା।
ଧରାଯାଉ ଗୋଟିଏ ଆଳୁ ଚପ୍ ର ଦାମ୍ = y ଟଙ୍କା।
ତେବେ ସମୀକରଣଟି ହେବ: 2x + 3y = 20

ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଥିବା ସମୀକରଣର ସୂତ୍ର

ax + by + c = 0

ଏଠାରେ x ଓ y ହେଉଛନ୍ତି ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି।
ସର୍ତ୍ତ: a ଏବଂ b ଉଭୟ ଏକା ସାଙ୍ଗରେ ଶୂନ (0) ହୋଇପାରିବେ ନାହିଁ।

୪. ସହସମୀକରଣ କାହିଁକି ଦରକାର? (Why Two Equations?)

ଆସ ପୁଣି ସେହି ସିଙ୍ଗଡ଼ା ଓ ଆଳୁ ଚପ୍ କଥା ଭାବିବା। ଆମ ପାଖରେ ସମୀକରଣ ଅଛି: 2x + 3y = 20। କଣ ତୁମେ ଖାଲି ଏହି ଗୋଟିଏ କଥାରୁ ସଠିକ୍ ଦାମ୍ କହିପାରିବ? ବିଲକୁଲ୍ ନାହିଁ! କାହିଁକି? ଆସ ଦେଖିବା।

ଯଦି ସିଙ୍ଗଡ଼ା ଦାମ୍ (x) 10 ଟଙ୍କା ହୁଏ, ତେବେ 2ଟି ସିଙ୍ଗଡ଼ା = 20 ଟଙ୍କା। ତେବେ ଆଳୁ ଚପ୍ (y) 0 ଟଙ୍କା (ମାଗଣା) ହେବା ଦରକାର! ଯାହାକି ଅସମ୍ଭବ।
ଯଦି ସିଙ୍ଗଡ଼ା ଦାମ୍ (x) 4 ଟଙ୍କା ହୁଏ, ତେବେ 2×4=8 ଟଙ୍କା। ବାକି 12 ଟଙ୍କାରେ 3ଟି ଆଳୁଚପ୍, ଅର୍ଥାତ୍ ଆଳୁଚପ୍ (y) ବି 4 ଟଙ୍କା।
ଯଦି ସିଙ୍ଗଡ଼ା ଦାମ୍ (x) 7 ଟଙ୍କା ହୁଏ, ତେବେ 2×7=14 ଟଙ୍କା। ବାକି 6 ଟଙ୍କାରେ 3ଟି ଆଳୁଚପ୍, ଅର୍ଥାତ୍ ଆଳୁଚପ୍ (y) 2 ଟଙ୍କା।

ସବୁଠାରୁ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ କଥା (ମନେ ରଖିବା ଯୋଗ୍ୟ) 💡

ଉପର ଉଦାହରଣରୁ ଆମେ ଗୋଟିଏ ବହୁତ ବଡ଼ କଥା ଶିଖିଲେ:
ଯଦି ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଥାଏ, ତେବେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣରୁ ଆମେ ଅସଂଖ୍ୟ (ଅନେକ) ଉତ୍ତର ପାଇବା। ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ (ସଠିକ୍) ଉତ୍ତର ପାଇବା ପାଇଁ ଆମକୁ ନିହାତି ଆଉ ଏକ ସମୀକରଣ (ବା ସୂଚନା) ଦରକାର।

ଯଦି ଦୋକାନୀ ତୁମକୁ ଆଉ ଗୋଟିଏ ସୂଚନା (clue) ଦିଅନ୍ତି: "ଗୋଟିଏ ସିଙ୍ଗଡ଼ା ଓ ଗୋଟିଏ ଆଳୁ ଚପ୍ କୁ ମିଶାଇଲେ 9 ଟଙ୍କା ହେବ।"
ତେବେ ଆମେ ଆଉ ଏକ ସମୀକରଣ ପାଇଗଲେ: x + y = 9

ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଅଛି। ଏହି ଦୁଇଟିକୁ ଏକାଠି କୁହାଯାଏ ସରଳ ସହସମୀକରଣ (Simultaneous Equations)। ଏହି ଦୁଇଟିକୁ ସମାଧାନ କରି ଆମେ x ଓ y ର ପ୍ରକୃତ ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରିପାରିବା।

ସରଳ ସହସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ରୂପ (ଯୋଡ଼ା ସମୀକରଣ)

a₁x + b₁y + c₁ = 0 ............ (1) a₂x + b₂y + c₂ = 0 ............ (2)

(ଏଠାରେ a₁, b₁, a₂, b₂ ସମସ୍ତେ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି। 1 ଓ 2 ଲେଖିବାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଏହା ପ୍ରଥମ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣର ଅଂଶ।)

୫. ବାସ୍ତବ ଜୀବନରେ ଏହାର ବ୍ୟବହାର (Real-Life Applications)

ଏହି ପାଠଟି କେବଳ ବହିରେ ନାହିଁ, ଆମର ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ଏହାର ବହୁତ ବ୍ୟବହାର ଅଛି:

ଦୋକାନ ବଜାରରେ: ଯେତେବେଳେ ଆମେ ଏକାଠି ବିଭିନ୍ନ ଜିନିଷ କିଣୁ ଏବଂ ମୋଟ ବିଲ୍ ଦିଆଯାଇଥାଏ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଜିନିଷର ଦାମ୍ ଜାଣିବା ପାଇଁ।
କ୍ରିକେଟ୍ ଖେଳରେ: ଯଦି ଆମକୁ କୁହାଯାଏ ଯେ ରୋହିତ ଏବଂ ବିରାଟ ମିଶିକରି 150 ରନ୍ କଲେ, ଏବଂ ରୋହିତ ବିରାଟଙ୍କ ଠାରୁ 30 ରନ୍ ଅଧିକ କରିଛନ୍ତି। ଏହାକୁ ସମୀକରଣ ଦ୍ୱାରା ଆମେ ସହଜରେ ବାହାର କରିପାରିବା।
ବୟସ ନିର୍ଣ୍ଣୟରେ: ବାପା ଓ ପୁଅଙ୍କ ବୟସର ସମ୍ପର୍କ ଜାଣିବା ପାଇଁ।

ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କର (Practice Questions) ✍️

କୌଣସି ବିଷୟ ଶିଖିବା ପରେ ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କରିବା ବହୁତ ଜରୁରୀ। ତଳେ ଥିବା ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକୁ ସମାଧାନ କର:

ପ୍ରାଥମିକ (Basic):

ସମାଧାନ କର: 3x - 15 = 0 (ସୂଚନା: ପ୍ରଥମେ -15 କୁ ଡାହାଣକୁ ନିଅ)।
ସମାଧାନ କର: 5x + 20 = 0

ମଧ୍ୟମ (Moderate) - କେବଳ ସମୀକରଣ ଲେଖ:

ରାମ ଓ ଶ୍ୟାମଙ୍କ ବୟସକୁ ମିଶାଇଲେ 30 ବର୍ଷ ହୁଏ। (ରାମର ବୟସ x ଓ ଶ୍ୟାମର ବୟସ y ନେଇ ସମୀକରଣଟି ଲେଖ)।
ଗୋଟିଏ ଖାତାର ଦାମ୍ x ଟଙ୍କା ଏବଂ ଗୋଟିଏ କଲମର ଦାମ୍ y ଟଙ୍କା। 4 ଟି ଖାତା ଏବଂ 2 ଟି କଲମର ମୋଟ ମୂଲ୍ୟ 60 ଟଙ୍କା ଅଟେ। ଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ କଣ ହେବ?

"ଭୁଲ୍ କରିବାକୁ ଡର ନାହିଁ। ଭୁଲ୍ କରିବା ମାନେ ତୁମେ ଶିଖିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରୁଛ।"

ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଜ୍ୟାମିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ

ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଜ୍ୟାମିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ
(Geometrical Representation)

ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରସଙ୍ଗ (Introduction)

ପ୍ରିୟ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ, ଆଜି ଆମେ ଏକ ବହୁତ ମଜାଦାର କଥା ଶିଖିବା। ତୁମେମାନେ ନିଶ୍ଚୟ ଖାତାରେ ସିଧା ଗାର (Straight lines) ଟାଣିଥିବ। ଯଦି ମୁଁ ତୁମକୁ ଗୋଟିଏ କାଗଜରେ ଦୁଇଟି ସିଧା ଗାର ଟାଣିବାକୁ କହେ, ତେବେ ତୁମେ ତାହାକୁ କେତେ ପ୍ରକାରରେ ଟାଣିପାରିବ?

ଟିକେ ଭାବ... ତୁମେ ହୁଏତ ଦୁଇଟି ଗାରକୁ ଏମିତି ଟାଣିବ ଯେ ସେମାନେ ଗୋଟିଏ ଜାଗାରେ ପରସ୍ପରକୁ କାଟିବେ (ଯେମିତି କଇଞ୍ଚି ମଝିରେ ଥାଏ)। ନଚେତ୍, ତୁମେ ତାକୁ ରେଳ ଲାଇନ୍ ପରି ସମାନ୍ତର ଭାବେ ଟାଣିବ ଯେମିତିକି ସେମାନେ କେବେ ମିଶିବେ ନାହିଁ। ଆଉ ଗୋଟିଏ ବାଟ ଅଛି - ଗୋଟିଏ ଗାର ଉପରେ ଠିକ୍ ଆଉ ଗୋଟିଏ ଗାର ଟାଣିଦେବା! ଏହି ପାଠରେ ଆମେ ଏହି ତିନୋଟି ଅବସ୍ଥା ବିଷୟରେ ହିଁ ପଢିବା।

୧. ସମୀକରଣ ଏବଂ ସରଳରେଖା (Equation and Straight Line)

ଗଣିତରେ ଯେତେବେଳେ ଆମେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଯେପରିକି 2x + 3y = 5 ଲେଖୁ, ସେତେବେଳେ ତାହା କେବଳ କିଛି ସଂଖ୍ୟା ଓ ଅକ୍ଷର ନୁହେଁ। ଯଦି ଆମେ ତାକୁ ଗୋଟିଏ ଗ୍ରାଫ୍ କାଗଜ (Graph paper) ରେ ଆଙ୍କିବା, ତେବେ ତାହା ଗୋଟିଏ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସିଧା ଗାର (Straight line) ହୋଇଯିବ!

ଆମ ପାଠର ନାମ ହେଉଛି "ସହ-ସମୀକରଣ" (Simultaneous Equations)। ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଏକାସାଙ୍ଗରେ ରହିବେ। ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଅଛି, ଗ୍ରାଫ୍ ରେ ମଧ୍ୟ ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ଆସିବ।

📍 ମନେରଖ:

୧ଟି ସମୀକରଣ = ଗ୍ରାଫ୍ ରେ ୧ଟି ସରଳରେଖା।
୨ଟି ସମୀକରଣ = ଗ୍ରାଫ୍ ରେ ୨ଟି ସରଳରେଖା।

୨. ତିନୋଟି ସମ୍ଭାବନା (Three Possibilities in a Graph)

ଯେତେବେଳେ ଆମେ ସେହି ଦୁଇଟି ସମୀକରଣକୁ ଗ୍ରାଫ୍‌ରେ ଆଙ୍କିବା, ସେମାନେ କେବଳ ନିମ୍ନଲିଖିତ ତିନୋଟି ଚିତ୍ର ପରି ଦେଖାଯିବେ। ଆସ ପ୍ରତ୍ୟେକଟିକୁ ଟିକିନିଖି ବୁଝିବା:

୧ମ ଚିତ୍ର: ପରସ୍ପରଚ୍ଛେଦୀ

(Intersecting Lines)

ରେଖା ଦୁଇଟି ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ କାଟୁଛନ୍ତି।

୨ୟ ଚିତ୍ର: ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ

(Coincident Lines)

ଗୋଟିଏ ରେଖା ଅନ୍ୟଟି ଉପରେ ଶୋଇଯାଇଛି।

୩ୟ ଚିତ୍ର: ସମାନ୍ତର

(Parallel Lines)

ରେଖା ଦୁଇଟି କେବେବି ପରସ୍ପରକୁ ଛୁଇଁବେ ନାହିଁ।

📖 "ସମାଧାନ" (Solution) ମାନେ କ'ଣ?

ଅତି ସହଜ ଭାଷାରେ କହିଲେ: ଦୁଇଟି ରେଖା ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ପରସ୍ପରକୁ ଛୁଅନ୍ତି ବା କାଟନ୍ତି, ସେହି ଛେଦ-ବିନ୍ଦୁ ହିଁ ହେଉଛି ଆମର "ସମାଧାନ"।

ଯଦି ରେଖାଦ୍ୱୟ ଥରେ ମାତ୍ର କାଟନ୍ତି (୧ମ ଚିତ୍ର), ତେବେ ତାର କେବଳ ୧ଟି ସମାଧାନ (ଅନନ୍ୟ ଉତ୍ତର) ଥାଏ।
ଯଦି ଗୋଟିଏ ରେଖା ଅନ୍ୟଟି ଉପରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମିଶିଯାଏ (୨ୟ ଚିତ୍ର), ତେବେ ସେମାନେ ସବୁ ଜାଗାରେ ଛୁଉଁଛନ୍ତି। ତେଣୁ ତାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ (Infinite answers) ଥାଏ।
ଯଦି ରେଖାଦ୍ୱୟ ରେଳ ଲାଇନ୍ ପରି ସମାନ୍ତର ରହନ୍ତି (୩ୟ ଚିତ୍ର), ସେମାନେ କେବେ ମିଶନ୍ତି ନାହିଁ। ଯେହେତୁ କେବେ ଛୁଇଁଲେ ନାହିଁ, ତେଣୁ ଏହାର କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ (୦ ଉତ୍ତର)। ଏହାକୁ ଆମେ 'ଅସଙ୍ଗତ' ମଧ୍ୟ କହୁ।

୩. ବିନା ଗ୍ରାଫ୍ ଆଙ୍କି ସୂତ୍ର ଦ୍ଵାରା କିପରି ଜାଣିବା? (The Magic Shortcut)

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଥର ଗ୍ରାଫ୍ ଆଙ୍କିବା ବହୁତ କଷ୍ଟକର ଓ ସମୟସାପେକ୍ଷ। ଗଣିତଜ୍ଞମାନେ ଗୋଟିଏ ସହଜ ଉପାୟ (ସୂତ୍ର) ବାହାର କରିଛନ୍ତି। କେବଳ ସମୀକରଣରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକୁ ତୁଳନା କରି ଆମେ କହିଦେଇପାରିବା ଯେ ଗ୍ରାଫ୍ କିପରି ହେବ!

ଆମର ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ସବୁବେଳେ ଏହି ରୂପରେ ଥାଏ:

a₁x + b₁y + c₁ = 0 (ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ)

a₂x + b₂y + c₂ = 0 (ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ)

ବୁଝିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କର: a ହେଉଛି x ପାଖରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା, b ହେଉଛି y ପାଖରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା, ଏବଂ c ହେଉଛି ଏକାଟିଆ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା (ଯାହା ପାଖରେ x ବା y ନଥାଏ)। ଆମକୁ କେବଳ ଏମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ (ଭଗ୍ନାଂଶ) ବାହାର କରିବାକୁ ପଡିବ।

📐 ମ୍ୟାଜିକ୍ ସୂତ୍ର (The Formulas to Remember)

ଆମେ ତିନୋଟି ଭଗ୍ନାଂଶ ବାହାର କରିବା: a₁/a₂, b₁/b₂, ଏବଂ c₁/c₂

ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ ପାଇଁ (ପରସ୍ପରଚ୍ଛେଦୀ): ଯଦି ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଭଗ୍ନାଂଶ ସମାନ ନୁହଁନ୍ତି।

ସର୍ତ୍ତ:
a₁a₂
≠
b₁b₂
ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ (ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ): ଯଦି ତିନୋଟି ଯାକ ଭଗ୍ନାଂଶ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାନ ହୁଅନ୍ତି।

ସର୍ତ୍ତ:
a₁a₂
=
b₁b₂
=
c₁c₂
କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ (ସମାନ୍ତର): ଯଦି ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ସମାନ, କିନ୍ତୁ ଶେଷଟି ଅଲଗା।

ସର୍ତ୍ତ:
a₁a₂
=
b₁b₂
≠
c₁c₂

୪. ଆସ ଗୋଟିଏ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନ କରିବା (Step-by-step Example)

📝 ଉଦାହରଣ ପ୍ରଶ୍ନ (Worked Example)

ପ୍ରଶ୍ନ: ନିମ୍ନଲିଖିତ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣକୁ ଦେଖ। ବିନା ଗ୍ରାଫ୍ ଆଙ୍କି କୁହ, ଏମାନଙ୍କର କେତୋଟି ସମାଧାନ ଅଛି?

2x + 4y - 8 = 0 (ସମୀକରଣ ୧)
3x + 6y - 12 = 0 (ସମୀକରଣ ୨)

ଆମେ କିପରି ସମାଧାନ କରିବା? ଏକଦମ୍ ଧୀରେ ଧୀରେ ଦେଖ...

ପଦକ୍ଷେପ ୧: ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରୁ a₁, b₁, c₁ ବାହାର କରିବା।

ଆମର ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ହେଉଛି: 2x + 4y - 8 = 0

a₁ (x ର ସାଙ୍ଗ) = 2
b₁ (y ର ସାଙ୍ଗ) = 4
c₁ (ଏକାଟିଆ ସଂଖ୍ୟା) = -8 (ଧ୍ୟାନ ଦିଅ, ମାଇନସ୍ ଚିହ୍ନକୁ ଛାଡିବ ନାହିଁ!)

ପଦକ୍ଷେପ ୨: ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣରୁ a₂, b₂, c₂ ବାହାର କରିବା।

ଆମର ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ହେଉଛି: 3x + 6y - 12 = 0

a₂ = 3
b₂ = 6
c₂ = -12

ପଦକ୍ଷେପ ୩: ସେମାନଙ୍କର ଅନୁପାତ (ଭଗ୍ନାଂଶ) ବାହାର କରିବା।

ଆସ ଏବେ ଆମେ ତାଙ୍କୁ ଉପରେ ତଳେ ରଖି କାଟିବା (Simplify କରିବା):

a₁/a₂ =

b₁/b₂ =

→ (ଉପର ତଳକୁ ୨ ରେ କାଟିଲେ) =

c₁/c₂ =

-8-12

→ (ମାଇନସ୍ ମାଇନସ୍ କଟିଗଲା, ୪ ରେ କାଟିଲେ) =

ପଦକ୍ଷେପ ୪: ତୁଳନା କର ଏବଂ ଉତ୍ତର ଲେଖ!

ତୁମେ କ'ଣ ଦେଖିଲ? ତିନୋଟି ଯାକ ଉତ୍ତର 2/3 ଆସିଲା! ଅର୍ଥାତ୍:

a₁a₂

b₁b₂

c₁c₂

ଯେହେତୁ ସମସ୍ତେ ସମାନ, ଆମେ 'ମ୍ୟାଜିକ୍ ସୂତ୍ର' ରୁ ଜାଣିଛୁ ଯେ ଏହାର "ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ" (Infinite solutions) ବାହାରିବ ଏବଂ ରେଖାଦ୍ୱୟ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ (ଗୋଟିକ ଉପରେ ଗୋଟିଏ) ହେବେ।

୫. ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କର (Practice Questions)

ଏବେ ତୁମର ପାଳି! ଖାତା ବାହାର କର ଏବଂ ନିମ୍ନ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡିକୁ ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କର। ଭୁଲ୍ ହେଲେ ମଧ୍ୟ ଚିନ୍ତା ନାହିଁ, ଚେଷ୍ଟା କରିବା ଜରୁରୀ।

ଅତି ସହଜ: ଯଦି ଦୁଇଟି ରେଖା ଗ୍ରାଫ୍‌ରେ ରେଳ ଧାରଣା ପରି ସମାନ୍ତର ଦେଖାଯାଉଛନ୍ତି, ତେବେ ତାହାର କେତୋଟି ସମାଧାନ (ଉତ୍ତର) ଥିବ?
ମଧ୍ୟମ: ସମୀକରଣ 5x + 3y - 7 = 0 ରେ c ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ? (ଧ୍ୟାନ ଦିଅ, ଚିହ୍ନ କ'ଣ ଅଛି!)
କଷ୍ଟ (ତୁମେ ପାରିବ!): ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଅଛି:
3x + 2y - 5 = 0 ଏବଂ 2x + 3y - 7 = 0
ଏମାନଙ୍କର a₁/a₂ ଏବଂ b₁/b₂ ବାହାର କର। କୁହ ଦେଖି, ଏମାନେ ସମାନ କି ଅଲଗା? ତେବେ ଗ୍ରାଫ୍ ଟି କିପରି ହେବ?

୬. ବାସ୍ତବ ଜୀବନର ପ୍ରୟୋଗ (Real-Life Applications)

ତୁମେ ଭାବୁଥିବ ଏହି "ସହ-ସମୀକରଣ" ଆମର କେଉଁ କାମରେ ଆସିବ? ବାସ୍ତବରେ ଇଞ୍ଜିନିୟରମାନେ ବଡ ବଡ ରାସ୍ତା ତିଆରି କରିବା ବେଳେ ଏହାର ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତି।

ଯେତେବେଳେ ସେମାନେ ଏକ ଓଭରବ୍ରିଜ୍ (Overbridge) ତିଆରି କରନ୍ତି, ସେମାନେ ଧ୍ୟାନ ରଖନ୍ତି ଯେ ତଳ ରାସ୍ତା ଓ ଉପର ରାସ୍ତା ଯେପରି ସମାନ୍ତର ରହେ (କେହି କାହାକୁ ନକାଟନ୍ତି), ଯାହାଦ୍ୱାରା ଦୁର୍ଘଟଣା ହେବ ନାହିଁ। ଏହା ହେଉଛି ଆମର ୩ୟ ଚିତ୍ର (ସମାନ୍ତର ରେଖା)।
ଯେତେବେଳେ ଏକ ଛକ (Crossroads) ତିଆରି ହୁଏ (ଯେପରିକି ମାଷ୍ଟରକ୍ୟାଣ୍ଟିନ୍ ଛକ), ସେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ରାସ୍ତା ଅନ୍ୟ ରାସ୍ତାକୁ କାଟେ। ଟ୍ରାଫିକ୍ ପୋଲିସ ସେହି "ଛେଦ ବିନ୍ଦୁ" ବା "ସମାଧାନ ବିନ୍ଦୁ" ରେ ଛିଡା ହୋଇ ଗାଡି ନିୟନ୍ତ୍ରଣ କରନ୍ତି! ଏହା ହେଉଛି ଆମର ୧ମ ଚିତ୍ର (ପରସ୍ପରଚ୍ଛେଦୀ ରେଖା)।

Mathematics Textbook - Class 10

ବୀଜଗଣିତ: ଲେଖଚିତ୍ର (Graph) ସାହାଯ୍ୟରେ ସମାଧାନ

I. ପ୍ରାଥମିକ ଧାରଣା (Simple Introduction)

ଆସନ୍ତୁ ଗୋଟିଏ ବାସ୍ତବ ଜୀବନର ଉଦାହରଣ ନେଇ ଆରମ୍ଭ କରିବା । କଳ୍ପନା କରନ୍ତୁ, ଦୁଇଜଣ ସାଙ୍ଗ 'ରାମ' ଏବଂ 'ଶ୍ୟାମ' ଗୋଟିଏ ବଡ଼ ପଡ଼ିଆରେ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ସିଧା ରାସ୍ତାରେ ଚାଲୁଛନ୍ତି । ଯଦି ସେମାନଙ୍କ ରାସ୍ତା ପରସ୍ପରକୁ କେଉଁଠି ଗୋଟିଏ ଜାଗାରେ କାଟେ, ତେବେ କେବଳ ସେହି ଗୋଟିଏ ଜାଗାରେ ହିଁ ସେମାନେ ପରସ୍ପରକୁ ଭେଟିପାରିବେ ଏବଂ ହାତ ମିଳାଇ ପାରିବେ ।

ଆମ ଗଣିତରେ ମଧ୍ୟ ଠିକ୍ ସେହିପରି ଘଟେ । ଏଠାରେ ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି 'ସମୀକରଣ' (Equations) ଅଛି । ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଗୋଟିଏ ଗୋଟିଏ ସିଧା ରାସ୍ତା (Straight Line) । ଏହି ଦୁଇଟି ରାସ୍ତା ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ ପରସ୍ପରକୁ କାଟନ୍ତି, ସେହି ମିଳନ ବିନ୍ଦୁଟି ହିଁ ହେଉଛି ଆମର ଉତ୍ତର ବା ସମାଧାନ ।

ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଜ୍ଞା (Definitions)

ସହସମୀକରଣ (Simultaneous Equations): ଯେତେବେଳେ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଏକାଠି ମିଶି ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତର ବାହାର କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତି ।
ଛେଦବିନ୍ଦୁ (Point of Intersection): Graph କାଗଜରେ ଯେଉଁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁରେ ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ କାଟନ୍ତି ।

II. ସମାଧାନର ମୂଳ ମନ୍ତ୍ର (The Core Rules)

ଲେଖଚିତ୍ର ଆଙ୍କିବା ପୂର୍ବରୁ, ଆମକୁ କିଛି ପ୍ରସ୍ତୁତି କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ । ଗୋଟିଏ ରେଖା ଆଙ୍କିବା ପାଇଁ ଆମକୁ Graph କାଗଜରେ କିଛି ବିନ୍ଦୁ ଖୋଜିବାକୁ ହେବ । ତାହା କିପରି କରିବା?

ସହଜ ନିୟମ (Step-by-Step Rules)

ନିୟମ 1: ପ୍ରଥମେ ସମୀକରଣଟିକୁ ଏପରି ସଜାଡ଼ି ଲେଖନ୍ତୁ ଯେପରି y କେବଳ ବାମ ପଟେ ଏକାଟିଆ ରହିବ ଏବଂ ବାକି ସବୁକିଛି (x ଏବଂ ସଂଖ୍ୟା) ଡାହାଣ ପଟକୁ ପଳାଇବେ । (ଉଦାହରଣ: y = ...)
ନିୟମ 2: ନିଜ ଇଚ୍ଛାରେ x ର କିଛି ସହଜ ମାନ (ଯେପରିକି 0, 1, 2) ନିଅନ୍ତୁ ଏବଂ ସେଥିରୁ y ର ମାନ ବାହାର କରନ୍ତୁ ।
ନିୟମ 3: ଭୁଲ୍ ନହେବା ପାଇଁ, ଅତିକମରେ 3 ଟି ବିନ୍ଦୁ ବାହାର କରନ୍ତୁ । ଯଦି 3 ଟି ଯାକ ବିନ୍ଦୁ ଗୋଟିଏ ସିଧା ଧାଡ଼ିରେ ରହିବେ, ତେବେ ଆପଣଙ୍କ ହିସାବ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଠିକ୍ ଅଛି ବୋଲି ଜାଣିବେ ।

III. ପୂର୍ଣ୍ଣାଙ୍ଗ ଉଦାହରଣ (Detailed Worked Example)

ଆସନ୍ତୁ ଗୋଟିଏ ପ୍ରଶ୍ନ ନେଇ ତାକୁ ଖୁବ୍ ଧୀରେ ଧୀରେ, ଟିକିନିଖି ଭାବେ ସମାଧାନ କରିବା ।

ପ୍ରଶ୍ନ: ଲେଖଚିତ୍ର (Graph) ଅଙ୍କନ କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣର ସମାଧାନ କର:

x - 2y - 7 = 0
x + y + 2 = 0

ପ୍ରଥମ ସରଳରେଖା (L1) ପାଇଁ ପ୍ରସ୍ତୁତି:

Step 1 ସମୀକରଣକୁ ସଜାଡ଼ିବା (y କୁ ଏକା କରିବା):

ଆମର ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ହେଉଛି: x - 2y - 7 = 0

ଆମର ଲକ୍ଷ୍ୟ ହେଉଛି 'y' କୁ ବାମ ପଟେ ଏକା କରିବା । ଏଠାରେ '-2y' ଅଛି । ଯଦି ଆମେ ତାକୁ ଡାହାଣ ପଟକୁ ନେଇଯିବା, ତେବେ ତାହା '+2y' ହୋଇଯିବ । ବୁଝିବାକୁ ସହଜ ହେବ ।

x - 7 = 2y

ଏବେ ଆମେ ଏହାକୁ ଓଲଟାଇ ଲେଖିପାରିବା (ଡାହାଣକୁ ବାମ, ବାମକୁ ଡାହାଣ):

2y = x - 7

ଏବେ 'y' ସହିତ 2 ଗୁଣା ହୋଇ ରହିଛି । ତାକୁ ଏକା କରିବା ପାଇଁ 2 କୁ ଡାହାଣ ପଟକୁ ନେଲେ ତାହା ହରିବା (divide) ହୋଇଯିବ ।

y =

x - 72

ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମର ସୂତ୍ର ପ୍ରସ୍ତୁତ! ଏହାକୁ ଆମେ ସମୀକରଣ (i) ବୋଲି କହିବା ।

Step 2 ବିନ୍ଦୁ ଖୋଜିବା (Finding the coordinates):

ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମେ ନିଜ ଇଚ୍ଛାରେ 'x' ର କିଛି ମୂଲ୍ୟ ନେବା । ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ପରାମର୍ଶ: ଏପରି ସଂଖ୍ୟା ନିଅନ୍ତୁ ଯାହାଦ୍ୱାରା (x - 7) କଲେ ଗୋଟିଏ ଯୁଗ୍ମ (even) ସଂଖ୍ୟା ମିଳିବ, ଯାହାକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ହରିବା ସହଜ ହେବ ।

ଯଦି x = -1 ନେବା:

y =

(-1) - 72

-82

= -4

(ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରଥମ ବିନ୍ଦୁଟି ହେଲା: P1 (-1, -4))

ଯଦି x = 3 ନେବା:

y =

3 - 72

-42

= -2

(ଅର୍ଥାତ୍ ଦ୍ୱିତୀୟ ବିନ୍ଦୁଟି ହେଲା: P2 (3, -2))

ଯଦି x = 5 ନେବା:

y =

5 - 72

-22

= -1

(ଅର୍ଥାତ୍ ତୃତୀୟ ବିନ୍ଦୁଟି ହେଲା: P3 (5, -1))

ପ୍ରଥମ ସରଳରେଖା (L1) ପାଇଁ ଟେବୁଲ୍:

x ର ମାନ	-1	3	5
y ର ମାନ	-4	-2	-1

ଦ୍ୱିତୀୟ ସରଳରେଖା (L2) ପାଇଁ ପ୍ରସ୍ତୁତି:

Step 3 ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣକୁ ସଜାଡ଼ିବା:

ଆମର ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣଟି ବହୁତ ସହଜ ଅଛି: x + y + 2 = 0

କେବଳ 'y' କୁ ବାମ ପଟେ ରଖି ବାକି ସବୁକୁ ଡାହାଣକୁ ନେଇଯିବା । ପ୍ଲସ୍ (+) ଥିଲେ ମାଇନସ୍ (-) ହୋଇଯିବ ।

y = -2 - x

ଏହା ହେଉଛି ଆମର ସମୀକରଣ (ii) ।

Step 4 ବିନ୍ଦୁ ଖୋଜିବା:

ଏଠାରେ ଆମେ 'x' ର ଯେକୌଣସି ଛୋଟ ସଂଖ୍ୟା ନେଇପାରିବା କାରଣ ଏଠାରେ ହରିବା (divide) ପାଇଁ କିଛି ନାହିଁ ।

ଯଦି x = 0 ନେବା:

y = -2 - (0) = -2

(ଅର୍ଥାତ୍ ପ୍ରଥମ ବିନ୍ଦୁଟି ହେଲା: Q1 (0, -2))

ଯଦି x = -2 ନେବା:

y = -2 - (-2) = -2 + 2 = 0

(ଅର୍ଥାତ୍ ଦ୍ୱିତୀୟ ବିନ୍ଦୁଟି ହେଲା: Q2 (-2, 0))

ଯଦି x = 2 ନେବା:

y = -2 - (2) = -4

(ଅର୍ଥାତ୍ ତୃତୀୟ ବିନ୍ଦୁଟି ହେଲା: Q3 (2, -4))

ଦ୍ୱିତୀୟ ସରଳରେଖା (L2) ପାଇଁ ଟେବୁଲ୍:

x ର ମାନ	0	-2	2
y ର ମାନ	-2	0	-4

IV. ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ (Drawing the Graph)

Step 5 ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ Graph ରେ ସ୍ଥାପନ କରିବା:

ବର୍ତ୍ତମାନ Graph କାଗଜରେ ମଝିରେ x-ଅକ୍ଷ (ଶୁଆଇକି) ଏବଂ y-ଅକ୍ଷ (ଠିଆ କରିକି) ଟାଣନ୍ତୁ । ତା'ପରେ ଆମେ ବାହାର କରିଥିବା ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁକୁ ଖୋଜି ଚିହ୍ନଟ କରନ୍ତୁ ।

କିପରି ଖୋଜିବେ? ଯଦି ବିନ୍ଦୁଟି (3, -2) ଅଛି, ତେବେ କେନ୍ଦ୍ର (0,0) ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ଡାହାଣକୁ 3 ଘର ଯାଆନ୍ତୁ, ତାପରେ ତଳକୁ 2 ଘର ଆସନ୍ତୁ । ସେଠାରେ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁ ଦିଅନ୍ତୁ ।

(ଚିତ୍ର 1: ଦେଖନ୍ତୁ କିପରି ସବୁଜ ରଙ୍ଗର ଗୋଲକ ସ୍ଥାନରେ ଦୁଇଟି ରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଭେଟୁଛନ୍ତି)

ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ଫଳାଫଳ (Final Conclusion):

ଲେଖଚିତ୍ରକୁ ଭଲଭାବେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ । ନୀଳ ରେଖା (L1) ଏବଂ ନାଲି ରେଖା (L2) ପରସ୍ପରକୁ କେଉଁ ବିନ୍ଦୁରେ କାଟୁଛନ୍ତି?
ହଁ, ସେମାନେ (1, -3) ବିନ୍ଦୁରେ କାଟୁଛନ୍ତି । ଏଠାରେ x ର ସିଧାରେ 1 ଅଛି ଏବଂ y ର ସିଧାରେ -3 ଅଛି ।

ତେଣୁ ଆମର ଉତ୍ତର ହେଲା:
x = 1 ଏବଂ y = -3

V. ମନେରଖିବାକୁ ଜରୁରୀ କଥା (Important Points to Remember)

ଯଦି ରେଖା ଦୁଇଟି ପରସ୍ପରକୁ କାଟନ୍ତି: ତେବେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ଉତ୍ତର ମିଳିବ (ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ) । ଆମ ଉଦାହରଣ ପରି ।
ଯଦି ରେଖା ଦୁଇଟି ରେଳଧାରଣା ପରି ସମାନ୍ତରାଳ ହୁଅନ୍ତି: ସେମାନେ କେବେବି ଭେଟିବେ ନାହିଁ । ଅର୍ଥାତ୍ ଏହାର କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ ।
ଯଦି ଗୋଟିଏ ରେଖା ଉପରେ ଆଉ ଗୋଟିଏ ରେଖା ଶୋଇଯାଏ: ତେବେ ସେମାନେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁରେ ମିଶୁଛନ୍ତି । ଅର୍ଥାତ୍ ଏହାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ଅଛି ।

VI. ବାସ୍ତବ ଜୀବନରେ ଏହାର ବ୍ୟବହାର (Real-Life Applications)

ଆପଣ ଭାବୁଥିବେ ଆମେ ଏହାକୁ କାହିଁକି ପଢୁଛୁ? ବାସ୍ତବ ଜୀବନରେ ଏହାର ବହୁତ ବ୍ୟବହାର ଅଛି:

ବ୍ୟବସାୟରେ: କମ୍ପାନୀମାନେ ନିଜର ଖର୍ଚ୍ଚ ରେଖା ଏବଂ ଲାଭ ରେଖା ଅଙ୍କନ କରନ୍ତି । ଯେଉଁଠି ଦୁଇଟି କାଟେ, ତାହାକୁ 'Break-even point' କୁହାଯାଏ (ଯେଉଁଠୁ ଲାଭ ହେବା ଆରମ୍ଭ ହୁଏ) ।
ଟ୍ରାଫିକ୍ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ: ଦୁଇଟି ଉଡ଼ାଜାହାଜ ଆକାଶରେ ଉଡ଼ୁଥିବା ବେଳେ ସେମାନଙ୍କ ରାସ୍ତା କେଉଁଠି କାଟୁଛି ତାହା ଜାଣିବା ଜରୁରୀ, ନଚେତ୍ ଦୁର୍ଘଟଣା ଘଟିପାରେ!

VII. ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କର (Practice Questions)

ବର୍ତ୍ତମାନ ଆପଣ ନିଜେ ଶିକ୍ଷକ ହୋଇ ଏହି ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ । ଭୟ କରନ୍ତୁ ନାହିଁ, ଧୀରେ ଧୀରେ Step 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ କରନ୍ତୁ ।

ସହଜ ପ୍ରଶ୍ନ (Basic):
x + y = 5 ଏବଂ 2x - y = 4
ମଧ୍ୟମ ପ୍ରଶ୍ନ (Moderate):
2x + 3y = 12 ଏବଂ x - y = 1
କଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନ (Challenging - ଆହ୍ୱାନ):
3x + 4y = 20 ଏବଂ x - 2y = 0

Chapter: Solving Simultaneous Equations using Graphs

ଅଧ୍ୟାୟ: ଲେଖଚିତ୍ର ସାହାଯ୍ୟରେ ସହ-ସମୀକରଣ (ବିଶେଷ ପରିସ୍ଥିତି)

ପ୍ରିୟ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ, ଆଜିର ଶ୍ରେଣୀକୁ ସ୍ୱାଗତ!
ଗଣିତ ମୋଟେ କଷ୍ଟ ନୁହେଁ। ଏହା ଗୋଟିଏ ସୁନ୍ଦର ଖେଳ ଭଳି। ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ଦେଖିଛେ ଯେ ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା (Lines) ଯଦି ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ କାଟନ୍ତି (Intersect କରନ୍ତି), ତେବେ ଆମକୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ (Solution) ମିଳେ।

କିନ୍ତୁ ଟିକେ ଭାବନ୍ତୁ! ଯଦି ସେହି ରେଖା ଦୁଇଟି କେବେହେଲେ ନ ମିଶନ୍ତି? କିମ୍ବା ଯଦି ଗୋଟିଏ ରେଖା ଅନ୍ୟଟି ଉପରେ ପୂରାପୂରି ମାଡି ବସେ? ସେତେବେଳେ କ'ଣ ହେବ? ଆସନ୍ତୁ ଏହି ମଜାଦାର କଥାକୁ ଖୁବ୍ ସହଜରେ ପାଦ-ପରେ-ପାଦ (step-by-step) ବୁଝିବା।

I. ମୂଳ ଧାରଣା (Introduction & Key Concepts)

ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ (Equation) କୁ ଲେଖଚିତ୍ର (Graph) ରେ ଆଙ୍କିଲେ, ଆମେ ଏକ ସିଧା ଗାର ବା ସରଳରେଖା ପାଇଥାଉ। ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ପାଇଁ ଦୁଇଟି ରେଖା ମିଳେ। ସେମାନଙ୍କର ମିଳନ ବିନ୍ଦୁ (Intersection Point) ହିଁ ହେଉଛି ଆମର ସମାଧାନ (Solution)। କିନ୍ତୁ ସବୁବେଳେ ରେଖା ଦୁଇଟି ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ କାଟନ୍ତି ନାହିଁ। ଆମେ ମୁଖ୍ୟତଃ ତିନୋଟି ଅବସ୍ଥା ଦେଖିବାକୁ ପାଉ:

ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଜ୍ଞା (Definitions to Remember):

1. ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ (Unique Solution): ଯେତେବେଳେ ଦୁଇଟି ରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଠିକ୍ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ କାଟନ୍ତି। ଅର୍ଥାତ୍ ଆମକୁ ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତର ମିଳିବ।
2. ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ (Infinite Solutions): ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ରେଖା ଅନ୍ୟ ରେଖା ଉପରେ ପୂରାପୂରି ମାଡି ବସେ (ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ରେଖା)। ଏଠାରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ ଅଟେ!
3. କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ (No Solution): ଯେତେବେଳେ ରେଖା ଦୁଇଟି ରେଳ ଧାରଣା ପରି ସମାନ୍ତର (Parallel) ହୁଅନ୍ତି ଏବଂ କେବେ ମଧ୍ୟ ପରସ୍ପରକୁ ଭେଟନ୍ତି ନାହିଁ। ଯେହେତୁ ସେମାନେ ଭେଟନ୍ତି ନାହିଁ, କୌଣସି ସମାଧାନ ନଥାଏ।

II. ଉଦାହରଣ-1 (ଯେତେବେଳେ ରେଖା ଦ୍ୱୟ "ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ" ହୁଅନ୍ତି)

ଆସନ୍ତୁ ଦେଖିବା କେମିତି ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଦେଖିବାକୁ ଅଲଗା ଲାଗିଲେ ମଧ୍ୟ ପ୍ରକୃତରେ ସେମାନେ ସମାନ ହୋଇପାରନ୍ତି।

ପ୍ରଶ୍ନ: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ ବାହାର କର:

ସମୀକରଣ (i): x + y - 3 = 0

ସମୀକରଣ (ii): 2x + 2y - 6 = 0

ପଦକ୍ଷେପ 1: ସମୀକରଣକୁ ସରଳ କରିବା (Simplify)

ଆମର ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ଅତି ସରଳ ଅଛି: x + y - 3 = 0

କିନ୍ତୁ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣଟିକୁ ଟିକେ ଧ୍ୟାନ ଦେଇ ଦେଖନ୍ତୁ: 2x + 2y - 6 = 0। ସବୁ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ (2 ର ଗୁଣିତକ)। ଯଦି ଆମେ ଏହି ପୂରା ସମୀକରଣକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ହରଣ କରିଦେବା, ତେବେ କଣ ହେବ?

2x2 + 2y2 - 62 = 0

⇒ x + y - 3 = 0

ଆରେ ବାଃ! ଏହା ତ ପୂରାପୂରି ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ସହ ସମାନ ହୋଇଗଲା! ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣଟି କେବଳ ପ୍ରଥମଟିର ଦୁଇଗୁଣ ହୋଇ ଲୁଚି ରହିଥିଲା। ଅର୍ଥାତ୍ ଏହି ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଅଲଗା ନୁହଁନ୍ତି, ସେମାନେ ଗୋଟିଏ ଅଟନ୍ତି।

ପଦକ୍ଷେପ 2: ଲେଖଚିତ୍ର ପାଇଁ ବିନ୍ଦୁ ବାହାର କରିବା (Find Points)

ଯେହେତୁ ଉଭୟ ସମୀକରଣ ସମାନ (x + y = 3), ଆସନ୍ତୁ ଏହାର ଲେଖଚିତ୍ର ଆଙ୍କିବା ପାଇଁ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ବାହାର କରିବା:

ଯଦି ଆମେ x = 0 ନେବା: 0 + y = 3 ⇒ y = 3। ତେଣୁ ବିନ୍ଦୁଟି ହେଲା: (0, 3)
ଯଦି ଆମେ y = 0 ନେବା: x + 0 = 3 ⇒ x = 3। ତେଣୁ ବିନ୍ଦୁଟି ହେଲା: (3, 0)

x	0	3
y	3	0
ବିନ୍ଦୁ (x,y)	(0, 3)	(3, 0)

ପଦକ୍ଷେପ 3: ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ (Graph Drawing)

ଯେହେତୁ ଉଭୟ ସମୀକରଣ ପାଇଁ ବିନ୍ଦୁଗୁଡିକ ସମାନ, ସେମାନଙ୍କର ରେଖା ଦୁଇଟି ଗୋଟିଏ ଅନ୍ୟଟି ଉପରେ ପୂରାପୂରି ମାଡି ବସିବ।

💡 ସିଦ୍ଧାନ୍ତ (Conclusion): ଏଠାରେ ଦୁଇଟି ରେଖା ନାହିଁ, ବରଂ ଗୋଟିଏ ରେଖା ଅନ୍ୟଟି ଉପରେ ଶୋଇ ରହିଛି। ସେମାନେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁରେ ପରସ୍ପରକୁ ଛୁଉଁଛନ୍ତି। ତେଣୁ ଏହାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ (Infinite Solutions) ଅଛି!

III. ଉଦାହରଣ-2 (ଯେତେବେଳେ ରେଖା ଦ୍ୱୟ "ସମାନ୍ତର" ହୁଅନ୍ତି)

ଟିକେ ଭାବନ୍ତୁ! (Think logcally!)
ଯଦି ମୁଁ କହେ: ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ମିଶାଇଲେ 3 ହେବ। ପୁଣି ସାଙ୍ଗେ ସାଙ୍ଗେ କହେ: ସେହି ଏକା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ମିଶାଇଲେ 5 ହେବ।
କ'ଣ ଏହା କେବେ ମଧ୍ୟ ସମ୍ଭବ କି? ବିଲକୁଲ୍ ନୁହେଁ! ଗୋଟିଏ ସମୟରେ ଯୋଗଫଳ 3 ଆଉ 5 କେମିତି ହେବ? ଆସନ୍ତୁ ଏହାକୁ ଗ୍ରାଫ୍ ରେ ଦେଖିବା।

ପ୍ରଶ୍ନ: ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ ବାହାର କର:

ସମୀକରଣ (i): x + y - 3 = 0

ସମୀକରଣ (ii): x + y - 5 = 0

ପଦକ୍ଷେପ 1: ଦୁଇଟି ସମୀକରଣରୁ ବିନ୍ଦୁ ବାହାର କରିବା

ସମୀକରଣ (i) ପାଇଁ: x + y - 3 = 0 ଯାହାକି x + y = 3

ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ବାହାର କରିଛେ ଯେ ଏହାର ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ହେଲା (0, 3) ଏବଂ (3, 0)।

ସମୀକରଣ (ii) ପାଇଁ: x + y - 5 = 0 ଯାହାକି x + y = 5

ଯଦି x = 0 ହୁଏ, ତେବେ 0 + y = 5 ⇒ y = 5। ତେଣୁ ବିନ୍ଦୁଟି ହେଲା: (0, 5)
ଯଦି y = 0 ହୁଏ, ତେବେ x + 0 = 5 ⇒ x = 5। ତେଣୁ ବିନ୍ଦୁଟି ହେଲା: (5, 0)

ପଦକ୍ଷେପ 2: ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ (Graph Drawing)

💡 ସିଦ୍ଧାନ୍ତ (Conclusion): ଦେଖନ୍ତୁ! ଏହି ଦୁଇଟି ରେଖା (L1 ଏବଂ L2) ପରସ୍ପର ଠାରୁ ସମାନ ଦୂରତାରେ ଅଛନ୍ତି। ସେମାନେ ରେଳ ଧାରଣା ପରି ସମାନ୍ତର (Parallel) ଅଟନ୍ତି। ଏମାନେ କେବେ ମଧ୍ୟ ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରିବେ ନାହିଁ। ଯେହେତୁ ଛେଦବିନ୍ଦୁ ନାହିଁ, ତେଣୁ ଏହି ସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ (No Solution)।

IV. ବିନା ଲେଖଚିତ୍ରରେ ସମାଧାନ ଜାଣିବାର ସୂତ୍ର (Short-cut Formula)

ପ୍ରତିଥର ଲେଖଚିତ୍ର ଆଙ୍କିବା କଷ୍ଟକର ହୋଇପାରେ। ତେଣୁ ଗଣିତଜ୍ଞମାନେ ଏକ ସହଜ ଉପାୟ (Formula) ବାହାର କରିଛନ୍ତି। କେବଳ ସମୀକରଣର ସଂଖ୍ୟା (Coefficients) ଗୁଡିକୁ ଦେଖି ଆମେ ସବୁକିଛି ଜାଣିପାରିବା!

🧮 ମନେରଖ (Formula to Remember):
ଧର ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଅଛି:
a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0

1. ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ
(ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତର)

a₁a₂

≠

b₁b₂

2. ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ
(ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ରେଖା)

a₁a₂

b₁b₂

c₁c₂

3. ସମାଧାନ ନାହିଁ
(ସମାନ୍ତର ରେଖା)

a₁a₂

b₁b₂

≠

c₁c₂

⭐ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସାରାଂଶ (Important Summary):

ଆଜିର ପାଠରୁ ଆମେ ଏତିକି ବୁଝିଲୁ ଯେ:

ଯଦି ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣଟି ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ସହ ପୂରାପୂରି ସମାନ ଥାଏ (ସବୁ ଅନୁପାତ ସମାନ), ତେବେ ତାହା ଗୋଟିଏ ରେଖା। ତାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ବାହାରିବ। (ଯେପରି ଉଦାହରଣ-1 ରେ ଥିଲା)
ଯଦି ସମୀକରଣରେ କେବଳ x ଏବଂ y ର ଅଂଶ ସମାନ ଥାଏ କିନ୍ତୁ ଶେଷ ସଂଖ୍ୟାଟି ଅଲଗା ଥାଏ, ତେବେ ରେଖାଦ୍ୱୟ ସମାନ୍ତର। ସେମାନେ କେବେ ମିଶିବେ ନାହିଁ, ଅର୍ଥାତ୍ ସମାଧାନ ନାହିଁ। (ଯେପରି ଉଦାହରଣ-2 ରେ ଥିଲା)

V. ବାସ୍ତବ ଜୀବନର ଉଦାହରଣ (Real-Life Application)

ଗଣିତ କେବଳ ବହିରେ ସୀମିତ ନୁହେଁ, ଏହା ଆମ ଚାରିପାଖରେ ଅଛି!

ସମାନ୍ତର ରେଖା (କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ): ଧର ତୁମେ ଏବଂ ତୁମ ସାଙ୍ଗ ଦୁଇଟି ଅଲଗା ଅଲଗା ଟ୍ରେନ୍ ରେ ଯାତ୍ରା କରୁଛ ଯାହା ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତର ଟ୍ରାକ୍ (Parallel Tracks) ଉପରେ ଚାଲୁଛି। ତୁମେମାନେ ଯେତେ ଦୂର ଗଲେ ବି କେବେ ମଧ୍ୟ ପରସ୍ପର ସହ ଧକ୍କା ହେବ ନାହିଁ (କୌଣସି ଛେଦବିନ୍ଦୁ ନାହିଁ)। ଏହା ହେଉଛି ଉଦାହରଣ-2 ର ବାସ୍ତବ ରୂପ।
ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ: ଧର ତୁମେ ଗୋଟିଏ ଲମ୍ବା ଦଉଡି ରଖିଛ ଆଉ ତୁମ ସାଙ୍ଗ ଠିକ୍ ସେହି ଦଉଡି ଉପରେ ଆଉ ଏକ ଦଉଡି ବିଛାଇ ଦେଲା। ବର୍ତ୍ତମାନ ଦଉଡିର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁ ପରସ୍ପରକୁ ଛୁଉଁଛନ୍ତି। ଏହା ହେଉଛି ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ।

VI. ନିଜେ କରି ଦେଖ (Practice Questions)

ବର୍ତ୍ତମାନ ତୁମେ ନିଜେ ଏହାକୁ ପରୀକ୍ଷା କର। ଭୟ କର ନାହିଁ, କେବଳ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କର!

ପ୍ରଶ୍ନ 1: ବିନା ଲେଖଚିତ୍ର ଆଙ୍କି ସୂତ୍ର ସାହାଯ୍ୟରେ କୁହ, ଏହି ସମୀକରଣ ଯୋଡ଼ିର କେତୋଟି ସମାଧାନ ଅଛି?

2x + 3y - 6 = 0

4x + 6y - 12 = 0

(ସୂଚନା: ପ୍ରଥମେ a₁a₂, b₁b₂ ଏବଂ c₁c₂ ବାହାର କର ଆଉ ଦେଖ ସବୁ ସମାନ ହେଉଛି କି ନାହିଁ!)

ପ୍ରଶ୍ନ 2: ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ (ଅର୍ଥାତ୍ ଏମାନେ ସମାନ୍ତର ରେଖା):

x + 2y - 4 = 0

x + 2y - 8 = 0

(ସୂଚନା: ଏଠାରେ a ଏବଂ b ଅନୁପାତ ସମାନ, କିନ୍ତୁ c ର ଅନୁପାତ ଅଲଗା।)

ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ

(Conditions of solvability of two linear simultaneous equations)

ପ୍ରିୟ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ, ଆସ ଆଜି ଏକ ମଜାଦାର କଥା ଶିଖିବା!
ତୁମକୁ ଯଦି ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଦିଆଯାଏ, ସେଗୁଡିକୁ ଗ୍ରାଫ୍ ନଆଙ୍କି ବା ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାଧାନ ନକରି କେବଳ ସେମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା (ସହଗ) ଗୁଡିକୁ ଦେଖି ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ ସେହି ଦୁଇଟି ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ବାହାରିବ କି ନାହିଁ! ଆସନ୍ତୁ ଦେଖିବା କିପରି।

📍 ଆମ ଓଡ଼ିଶାର ଏକ ଉଦାହରଣ ଭାବିବା:
ମନେକର ଦୁଇଟି ଟ୍ରେନ୍ ଲାଇନ୍ ଅଛି।
I. ଯଦି ଦୁଇଟି ଲାଇନ୍ ଖୋର୍ଦ୍ଧା ରୋଡ୍ ଜଙ୍କସନ୍ ରେ ପରସ୍ପରକୁ କାଟନ୍ତି, ତେବେ ତାହା ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ।
II. ଯଦି ଦୁଇଟି ଟ୍ରେନ୍ ଲାଇନ୍ କଟକରୁ ଭୁବନେଶ୍ୱର ଯାଏଁ ସମାନ୍ତରାଳ ଭାବେ ଯାଇଛନ୍ତି ଏବଂ କେବେ ମିଶିବେ ନାହିଁ, ତେବେ ତାହାର କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ।
III. ଆଉ ଯଦି ଗୋଟିଏ ପୁରୁଣା ଲାଇନ୍ ଉପରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ନୂଆ ଲାଇନ୍ ବିଛାଯାଇଛି (ଏକାଠି ମିଶିଯାଇଛନ୍ତି), ତେବେ ତାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ!

ମୌଳିକ ଧାରଣା (Basic Concept)

ମନେକର ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି ଏକଘାତୀ ସହସମୀକରଣ (Linear Equations) ଅଛି:

a₁x + b₁y + c₁ = 0 (ସମୀକରଣ - I)

a₂x + b₂y + c₂ = 0 (ସମୀକରଣ - II)

ଆମେ ଏଠାରେ x ର ସହଗ (a₁, a₂), y ର ସହଗ (b₁, b₂) ଏବଂ ଧ୍ରୁବକ ପଦ (c₁, c₂) ର ଅନୁପାତ ବାହାର କରିବା। ଏହା ଆମକୁ କହିଦେବ ରେଖା ଦୁଇଟି କିପରି ହେବେ। ମୁଖ୍ୟତଃ ୩ଟି ସର୍ତ୍ତ ଥାଏ:

ସର୍ତ୍ତ - I : ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ (Unique Solution)

ଯଦି ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଠିକ୍ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରନ୍ତି, ତେବେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ହିଁ ସମାଧାନ ଥାଏ। ଏହାକୁ ସଂଗତ ଓ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର (Consistent & Independent) କୁହାଯାଏ।

a₁a₂

≠

b₁b₂

ଉଦାହରଣ :

1x + 2y - 3 = 0
2x - 1y - 1 = 0

କାହିଁକି ଏମିତି କରିବା? ଆମକୁ ଦେଖିବାକୁ ହେବ ଯେ a ଏବଂ b ର ଅନୁପାତ ସମାନ ଅଛି କି ନାହିଁ।

ପ୍ରଥମେ ଚିହ୍ନଟ କର:
ସମୀକରଣ I ରୁ: a₁ = 1, b₁ = 2
ସମୀକରଣ II ରୁ: a₂ = 2, b₂ = -1

ଅନୁପାତ ବାହାର କର:
x ର ସହଗର ଅନୁପାତ:

a₁a₂

y ର ସହଗର ଅନୁପାତ:

b₁b₂

2-1

= -2

ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: 1/2 ଏବଂ -2 ସମାନ ନୁହେଁ। ତେଣୁ ଏହାର ଠିକ୍ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ ଅଛି।

ସର୍ତ୍ତ - II : ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ (Infinitely Many Solutions)

ଯଦି ଦୁଇଟି ସରଳରେଖା ଏକ ଏବଂ ଅଭିନ୍ନ (Coincident) ହୁଅନ୍ତି ଅର୍ଥାତ୍ ଗୋଟିକ ଉପରେ ଆଉ ଗୋଟିଏ ଥାଏ, ତେବେ ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ମିଳେ। ଏହାକୁ ସଂଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ (Consistent & Dependent) କୁହାଯାଏ।

a₁a₂

b₁b₂

c₁c₂

ଉଦାହରଣ :

1x + 1y - 3 = 0
2x + 2y - 6 = 0

a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -3
a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = -6

a₁a₂

b₁b₂

c₁c₂

-3-6

ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ତିନୋଟି ଯାକ ଅନୁପାତ ସମାନ (1/2)। ତେଣୁ ଏହାର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ଅଛି।

ସର୍ତ୍ତ - III : କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ (No Solution)

ଯଦି ରେଖା ଦ୍ଵୟ ସମାନ୍ତର (Parallel) ହୋଇଥାନ୍ତି, ସେମାନେ କେବେବି ଛେଦ କରନ୍ତି ନାହିଁ। ତେଣୁ କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ। ଏହାକୁ ଅସଂଗତ (Inconsistent) କୁହାଯାଏ।

a₁a₂

b₁b₂

≠

c₁c₂

ଉଦାହରଣ :

1x + 1y - 3 = 0
1x + 1y - 5 = 0

a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -3
a₂ = 1, b₂ = 1, c₂ = -5

a₁a₂

= 1,

b₁b₂

= 1,

c₁c₂

-3-5

ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ସମାନ, କିନ୍ତୁ ତୃତୀୟଟି ଅଲଗା। ତେଣୁ କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ।

⚠️ ସାଧାରଣତଃ ପିଲାମାନେ କରୁଥିବା ଭୁଲ (Common Mistakes):

ମାଇନସ୍ (-) ଚିହ୍ନକୁ ଭୁଲିଯିବା: ଯଦି 2x - 3y + 4 = 0 ଅଛି, ତେବେ b ର ମୂଲ୍ୟ କେବଳ 3 ନୁହେଁ, ବରଂ -3 ଅଟେ। ମାଇନସ୍ ଚିହ୍ନକୁ ସାଙ୍ଗରେ ନେବା ଜରୁରୀ।
ସମୀକରଣକୁ ସଠିକ୍ ରୂପରେ ନ ଲେଖିବା: ଯଦି ସମୀକରଣ 2x + 3y = 5 ଥାଏ, ପ୍ରଥମେ 5 କୁ ବାମ ପାଖକୁ ଆଣି 2x + 3y - 5 = 0 କର। ତାପରେ c ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କର। ନହେଲେ c ର ମୂଲ୍ୟ ଭୁଲ୍ ଆସିବ।

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ସାରଣୀ (Quick Summary)

ପରୀକ୍ଷା ପୂର୍ବରୁ କେବଳ ଏହି ଟେବୁଲଟିକୁ ମନେ ପକାଇଦେବ!

ଅନୁପାତର ତୁଳନା	ଲେଖଚିତ୍ର (Graph)	ସମାଧାନ ସଂଖ୍ୟା	ସମୀକରଣର ନାମ
a₁a₂ ≠ b₁b₂	ପରସ୍ପରଚ୍ଛେଦୀ	ଅନନ୍ୟ (ଗୋଟିଏ)	ସଂଗତ ଓ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର
a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂	ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ	ଅସଂଖ୍ୟ	ସଂଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ
a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂	ସମାନ୍ତର	ନାହିଁ (୦)	ଅସଂଗତ

ନିଜେ କର (Practice Questions)

ତୁମେ ଯାହା ଶିଖିଲ, ତାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ଖାତାରେ ଏହି ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡିକର ଉତ୍ତର କର:

ସହଜ: 2x + 3y - 5 = 0 ଏବଂ 4x + 6y - 10 = 0 । କୁହ, ଏହାର କେତୋଟି ସମାଧାନ ଅଛି?
ମଧ୍ୟମ: x - 2y + 3 = 0 ଏବଂ 3x + y - 1 = 0 । ଏହି ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ସଂଗତ ନା ଅସଂଗତ?
କଷ୍ଟ: ଯଦି 3x + 2y - 4 = 0 ଏବଂ 6x + ky - 8 = 0 ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ଥାଏ, ତେବେ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି 'k' ର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ହେବ?

ସରଳ ସହସମୀକରଣ - Class 10 Math

ସରଳ ସହସମୀକରଣ: ସମାଧାନର ସର୍ତ୍ତ

ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ପରାମର୍ଶ (Teacher's Note)

ପିଲାମାନେ, ମନେରଖ ଆମେ ଯେତେବେଳେ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରୁ, ସବୁବେଳେ ଗୋଟିଏ ଉତ୍ତର ମିଳିନଥାଏ । ବେଳେବେଳେ ବହୁତ ଉତ୍ତର ମିଳେ ତ ବେଳେବେଳେ ଆଦୌ ଉତ୍ତର ମିଳେନାହିଁ । ଆଜି ଆମେ ଶିଖିବା କେଉଁ ସ୍ଥିତିରେ କ'ଣ ହୁଏ ।

ସମାଧାନ ହେବାର ୩ ଟି ମୁଖ୍ୟ ସର୍ତ୍ତ

ସହଗର ଅନୁପାତ	ସମାଧାନର ପ୍ରକାର	ସମୀକରଣର ସ୍ଥିତି
a₁a₂ ≠ b₁b₂	ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ (ମାତ୍ର ୧ଟି ଉତ୍ତର)	ସଂଗତ ଓ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର
a₁a₂ = b₁b₂ = c₁c₂	ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ (ଗଣି ହେବ ନାହିଁ)	ସଂଗତ ଓ ନିର୍ଭରଶୀଳ
a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂	ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ (କୌଣସି ଉତ୍ତର ନାହିଁ)	ଅସଂଗତ

💡 ମନେ ରଖନ୍ତୁ

ଯଦି ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ଅନୁପାତ (a ଏବଂ b ର) ସମାନ ହେଉନାହାଁନ୍ତି, ତେବେ ତୁରନ୍ତ ବୁଝିଯାଅ ଯେ ଏହାର ଗୋଟିଏ ହିଁ ସମାଧାନ ବାହାରିବ ।

ସମାଧାନ ପ୍ରଣାଳୀ (Solved Example)

ପ୍ରଶ୍ନ:

5x - 3y = 0

ଏବଂ

2x + ky = 0

ସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର ଯଦି ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ଥାଏ, ତେବେ

k

ର ମାନ ବାହାର କର ।

ବୁଝିବା କଥା: ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ ହେଉଛି

a₁a₂

b₁b₂

ପ୍ରଥମେ ସମୀକରଣରୁ ମାନ ଗୁଡିକୁ ଲେଖିବା:

a₁ = 5, b₁ = -3
a₂ = 2, b₂ = k

ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନର ସର୍ତ୍ତ ଅନୁସାରେ ମାନ ପକାଇଲେ:

52 = -3 k

ଏବେ ବଜ୍ର ଗୁଣନ (Cross Multiplication) କରିବା:

\Rightarrow 5 \times k = 2 \times (-3) \Rightarrow 5k = -6 \Rightarrow k = - 65

ଉତ୍ତର: ଅତଏବ,

k

ର ମାନ ହେଉଛି -6/5 ।

⚠️ ସାବଧାନତା (Common Mistake)

ଚିହ୍ନ (+ କିମ୍ବା -) ଉପରେ ବିଶେଷ ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ । ଯଦି ସମୀକରଣରେ $-3y$ ଅଛି, ତେବେ $b$ ର ମାନକୁ $-3$ ବୋଲି ଧରନ୍ତୁ, କେବଳ 3 ନୁହେଁ ।

ସହ ସମୀକରଣର ବୀଜଗାଣିତିକ ସମାଧାନ

୧.୨. ସହ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ବୀଜଗାଣିତିକ ସମାଧାନ

ପ୍ରିୟ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ, ଆସ ଏକ କାହାଣୀ ଶୁଣିବା:
ମନେକର ତୁମେ ଦୋକାନକୁ ଗଲ ଏବଂ ୨ଟି କଲମ ଓ ୩ଟି ପେନସିଲ୍ କିଣିଲ। ଦୋକାନୀ ତୁମଠାରୁ ମୋଟ ୨୦ ଟଙ୍କା ନେଲେ। ଯଦି ଆମେ କଲମର ଦାମ୍ କୁ x ଏବଂ ପେନସିଲର ଦାମ୍ କୁ y ଧରିବା, ତେବେ ଏହା ଏକ ସମୀକରଣ ହୋଇଯିବ: 2x + 3y = 20।

କିନ୍ତୁ କେବଳ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣରୁ କଲମର ଦାମ୍ କେତେ ଜାଣିବା ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ। ଆମକୁ ଆଉ ଗୋଟିଏ ସୂଚନା (ସମୀକରଣ) ଦରକାର। ଯେତେବେଳେ ଆମ ପାଖରେ ଏପରି ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଥାଏ (ଯାହାକୁ ସହ-ସମୀକରଣ ବା Simultaneous Equations କୁହାଯାଏ), ସେଥିରୁ ଲୁଚି ରହିଥିବା x ଏବଂ y କୁ ବାହାର କରିବା ପାଇଁ ଆମେ "ବୀଜଗାଣିତିକ ସମାଧାନ" (Algebraic Method) ର ବ୍ୟବହାର କରୁ। ଗ୍ରାଫ୍ ନ ଆଙ୍କି କେବଳ ଖାତା କଲମରେ ଆମେ ଏହାକୁ ଖୁବ୍ ସହଜରେ ବାହାର କରିପାରିବା!

ମୁଖ୍ୟ ଉପାୟ (Methods to Solve)

ଗଣିତରେ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମୁଖ୍ୟତଃ ଦୁଇଟି ଅତି ସହଜ ଏବଂ ମଜାଦାର ଉପାୟ ଅଛି। ସେଗୁଡିକ ହେଲା:

୧. ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପଦ୍ଧତି (Substitution Method):
ଗୋଟିଏ ଖେଳାଳି ଖରାପ ଖେଳିଲେ ଯେପରି ତା ଜାଗାରେ ଆଉ ଜଣକୁ ଅଣାଯାଏ, ଠିକ୍ ସେହିପରି ଏଠାରେ ଆମେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣରୁ y (କିମ୍ବା ତା'ର କୌଣସି ଗୁଣିତକ) ର ମୂଲ୍ୟ କାଢି ତାକୁ ଦ୍ଵିତୀୟ ସମୀକରଣରେ ବସାଇଥାଉ।

୨. ଅପସାରଣ ପଦ୍ଧତି (Elimination Method):
ଅପସାରଣ ମାନେ ହଟାଇଦେବା କିମ୍ବା କାଟିଦେବା। ଏହି ଉପାୟରେ ଆମେ ଯୋଗ କିମ୍ବା ବିୟୋଗ କରି କୌଣସି ଗୋଟିଏ ଅକ୍ଷରକୁ (x କିମ୍ବା y) ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ରୂପେ ଉଭାନ କରିଦେଉ।

(i) ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପଦ୍ଧତି (Method of Substitution)

ଏହା କିପରି କାମ କରେ, ଆସ ପାହାଚ ପରେ ପାହାଚ (Step-by-step) ଶିଖିବା। ମନେକର ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଅଛି:

a₁x + b₁y + c₁ = 0 ......... (ସମୀକରଣ ୧)
a₂x + b₂y + c₂ = 0 ......... (ସମୀକରଣ ୨)

ପାହାଚ ୧
ସମୀକରଣ ୧ ରୁ କେବଳ y (ବା ତା'ର କୌଣସି ପଦ) କୁ ଗୋଟେ ପଟେ ରଖି ବାକି ସବୁ ଆରପଟକୁ ନେଇଯାଅ।

➔

ପାହାଚ ୨
ସେହି ମାନକୁ ନେଇ ସମୀକରଣ ୨ ରେ ଥିବା ସମାନ ପଦ ଜାଗାରେ ବସାଇଦିଅ (ଯାହାଦ୍ୱାରା ଭଗ୍ନାଂଶ ଆସିବ ନାହିଁ)।

➔

ପାହାଚ ୩
ବର୍ତ୍ତମାନ ସବୁକିଛି x ରେ ବଦଳିଯିବ। ସମାଧାନ କରି x ର ପ୍ରକୃତ ସଂଖ୍ୟା ବାହାର କର।

ଯଦି ଆମେ ଉପରୋକ୍ତ ପାହାଚଗୁଡିକୁ ନିୟମ ଅନୁସାରେ କରୁ, ତେବେ ଶେଷରେ ଆମକୁ ଏହି ସୂତ୍ର ମିଳିଥାଏ:

x = b₁c₂ - b₂c₁ a₁b₂ - a₂b₁ ଏବଂ y = c₁a₂ - c₂a₁ a₁b₂ - a₂b₁
(ସର୍ତ୍ତ: ତଳ ଭାଗ a₁b₂ - a₂b₁ ଶୂନ (0) ହୋଇନଥିବ)

💡 ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ କଥା: ପିଲାମାନେ, ତୁମକୁ ଏହି ବଡ଼ ସୂତ୍ରଟି ଘୋଷିବା ଦରକାର ନାହିଁ! ଆମେ ଯଦି ନିୟମ ବୁଝିଯିବା (ପାହାଚ ୧, ୨, ୩), ତେବେ ଯେକୌଣସି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଆପେ ଆପେ ବାହାରିଯିବ। ଆସ ଗୋଟିଏ ପ୍ରଶ୍ନକୁ ସମାଧାନ କରି ଦେଖିବା।

ଉଦାହରଣ (ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପଦ୍ଧତିରେ ସମାଧାନ)

ପ୍ରଶ୍ନ: ସମାଧାନ କର: 5x + 2y + 2 = 0 ଏବଂ 3x + 4y - 10 = 0

ଉତ୍ତର (ଗୋଟିଏ ପରେ ଗୋଟିଏ ପାହାଚ):

ପ୍ରଥମେ ଆମେ ଦୁଇଟି ଯାକ ସମୀକରଣକୁ ନାମ ଦେଇଦେବା:

5x + 2y + 2 = 0 ......... (i)
3x + 4y - 10 = 0 ......... (ii)

ପାହାଚ ୧: ସମୀକରଣ (i) ରୁ 2y କୁ ଏକାକୀ କରିବା (ଯାହାଦ୍ୱାରା ଭଗ୍ନାଂଶ ଆସିବ ନାହିଁ)।

5x + 2y + 2 = 0
(ବର୍ତ୍ତମାନ 2y କୁ ବାମ ପଟେ ରଖି, 5x ଏବଂ +2 କୁ ଡାହାଣ ପଟକୁ ନେଇଯିବା। ସେପଟକୁ ଗଲେ ଚିହ୍ନ ବଦଳି ମାଇନସ୍ ହୋଇଯିବ।)
⇒ 2y = -5x - 2 ......... (iii)
(ଏଠାରେ ଆମେ କେବଳ y ବଦଳରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ 2y ର ମାନ ବାହାର କଲେ, କାରଣ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣରେ 4y ଅଛି ଯାହାକି 2 × 2y ଅଟେ। ଏହାଦ୍ୱାରା ଆମକୁ 2 ହରଣ କରି ଭଗ୍ନାଂଶ କରିବାକୁ ପଡିବ ନାହିଁ ଓ ହିସାବ ଖୁବ୍ ସହଜ ହେବ।)

ପାହାଚ ୨: ଏହି ମୂଲ୍ୟକୁ ନେଇ ସମୀକରଣ (ii) ରେ ପକାଇବା।

ଆମର ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ଥିଲା: 3x + 4y - 10 = 0
ଏହାକୁ ଆମେ ଏପରି ମଧ୍ୟ ଲେଖିପାରିବା: 3x + 2(2y) - 10 = 0
ଏବେ 2y ଜାଗାରେ ଆମେ ବାହାର କରିଥିବା ମୂଲ୍ୟକୁ ବସାଇବା:
⇒ 3x + 2 (-5x - 2) - 10 = 0
(ଆରେ ବାଃ! ଦେଖିଲ, ଏବେ ଆଉ y ନାହିଁ ଏବଂ କୌଣସି ଭଗ୍ନାଂଶ ମଧ୍ୟ ନାହିଁ। ସବୁ କିଛି ଅତି ସହଜରେ x ହୋଇଗଲା।)

ପାହାଚ ୩: ବନ୍ଧନୀ ଖୋଲିବା ଏବଂ x ର ମାନ ବାହାର କରିବା।

⇒ 3x + (2 × -5x) + (2 × -2) - 10 = 0
⇒ 3x - 10x - 4 - 10 = 0
(3 ଟା x ରୁ 10 ଟା x ଗଲେ -7x ରହିବ। -4 ଓ -10 ମିଶି -14 ହେବ।)
⇒ -7x - 14 = 0
⇒ -7x = 14 (-14 ଡାହାଣକୁ ଯାଇ +14 ହେଲା)
⇒ x = 14 -7
⇒ x = -2

ପାହାଚ ୪: x ର ମୂଲ୍ୟ ବ୍ୟବହାର କରି y ବାହାର କରିବା।

ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ସମୀକରଣ (iii) ରେ ପାଇଥିଲେ:
2y = -5x - 2
ଏଥିରେ x = -2 ବସାଇଦିଅ:
⇒ 2y = -5(-2) - 2
(-5 ଓ -2 ଗୁଣିଲେ +10 ହେବ)
⇒ 2y = 10 - 2
⇒ 2y = 8
(ଏବେ y ବାହାର କରିବା ପାଇଁ 2 କୁ ସେପଟେ ନେଇ ହରଣ କରିଦେବା।)
⇒ y = 8 2 = 4
⇒ y = 4

ଅତଏବ, ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ ହେଉଛି: (x, y) = (-2, 4)

(ii) ଅପସାରଣ ପଦ୍ଧତି (Method of Elimination) - ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଧାରଣା

ଯେମିତି ଆମେ ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ଶିଖିଲେ, ସେମିତି ଆଉ ଗୋଟିଏ ଉପାୟ ଅଛି। ଏଥିରେ ଆମେ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣକୁ ଉପର ତଳ କରି ଲେଖୁ। ତା'ପରେ x କିମ୍ବା y ର ପାଖରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ ସମାନ କରୁ (କିଛି ଗୁଣନ କରି)। ସମାନ ହୋଇଗଲା ପରେ ଯୋଗ କିମ୍ବା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ଅକ୍ଷରଟି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କଟିଯାଏ! (ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ଏହାର ଉଦାହରଣ ଦେଖିବା)।

✅ ତୁମ ଉତ୍ତର ଠିକ୍ କି ଭୁଲ୍ କେମିତି ଜାଣିବ? (Self-Check)
ତୁମେ ଯେଉଁ x ଓ y ର ମାନ ପାଇଲ (ଯେପରିକି -2 ଏବଂ 4), ତାକୁ ନେଇ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ପ୍ରଶ୍ନର ସମୀକରଣରେ ବସାଇ ଦେଖ।
ଯେପରି: 5x + 2y + 2
= 5(-2) + 2(4) + 2
= -10 + 8 + 2
= -10 + 10 = 0 (ଦେଖିଲ, ଡାହାଣ ପଟର 0 ସହ ସମାନ ହୋଇଗଲା! ଅର୍ଥାତ୍ ତୁମ ଉତ୍ତର ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଠିକ୍!)

(iii) ବଜ୍ର ଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀ (Cross Multiplication)

ପିଲାମାନେ, ଧର ତୁମେ ଏବଂ ତୁମ ସାଙ୍ଗ ମିଶି ଦୋକାନକୁ ଗଲ। ତୁମେ 2ଟି ରସଗୋଲା ଓ 3ଟି ଛେନାପୋଡ଼ କିଣି 80 ଟଙ୍କା ଦେଲ। ତୁମ ସାଙ୍ଗ 3ଟି ରସଗୋଲା ଓ 1ଟି ଛେନାପୋଡ଼ କିଣି 50 ଟଙ୍କା ଦେଲା। ବର୍ତ୍ତମାନ ପ୍ରଶ୍ନ ଉଠୁଛି, ଗୋଟିଏ ରସଗୋଲାର ଦାମ୍ କେତେ?

ଏହି ପ୍ରକାରର ସମସ୍ୟାକୁ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଆମେ ଗଣିତରେ ସମୀକରଣ (Equations) ବ୍ୟବହାର କରୁ। ପୂର୍ବରୁ ଆମେ ଅନେକ ପ୍ରଣାଳୀ ଶିଖିଛେ, କିନ୍ତୁ ଆଜି ଆମେ ଏକ ସିଧାସଳଖ ଏବଂ ମଜାଦାର ସର୍ଟକଟ୍ (shortcut) ଫର୍ମୁଲା ଶିଖିବା। ଏହାକୁ "ବଜ୍ର ଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀ" କୁହାଯାଏ। ବଜ୍ର ମାନେ ହେଉଛି ଛକି (Cross) ଚିହ୍ନ। ଏଥିରେ ଆମେ ଛକି ଆକାରରେ ଗୁଣନ କରି ଖୁବ୍ ସହଜରେ ଉତ୍ତର ପାଇପାରିବା!

ଧାରଣା ଗଠନ (Concept Building)

ବଜ୍ର ଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀ ଆରମ୍ଭ କରିବା ପୂର୍ବରୁ, ଆମକୁ ଗୋଟିଏ ଛୋଟ କାମ କରିବାକୁ ହେବ। ଆମକୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସବୁବେଳେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ରୂପରେ ସଜାଇବାକୁ ପଡ଼ିବ। ଏହାକୁ "ସାଧାରଣ ରୂପ" କୁହାଯାଏ।

ସାଧାରଣ ରୂପ (Standard Form) କ'ଣ?
ସାଧାରଣ ରୂପର ଅର୍ଥ ହେଉଛି, ସମୀକରଣର ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଅକ୍ଷର (x, y) ବାମ ପଟେ ରହିବ ଏବଂ ଡାହାଣ ପଟେ କେବଳ ଶୂନ (0) ରହିବ। ଏହାକୁ ଆମେ ଏହିପରି ଲେଖୁ:

ax + by + c = 0

ଯେଉଁଠାରେ a, b, ଏବଂ c ହେଉଛି କେବଳ ସଂଖ୍ୟା। ଉଦାହରଣ: ଯଦି ଆମର ସମୀକରଣ ଥାଏ 2x + 3y = 8, ଆମକୁ ପ୍ରଥମେ 8 କୁ ବାମ ପଟକୁ ଆଣିବାକୁ ହେବ। ଏହା ହୋଇଯିବ: 2x + 3y - 8 = 0।

ଯେହେତୁ ଆମ ପାଖରେ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ଅଛି, ଆମେ ସେମାନଙ୍କୁ ଚିହ୍ନିବା ପାଇଁ ୧ ଏବଂ ୨ ନମ୍ବର ଦେବା:

a₁x + b₁y + c₁ = 0 ... (ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ)
a₂x + b₂y + c₂ = 0 ... (ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ)

ମୂଳ ସୂତ୍ର (The Formula)

ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମେ ଦେଖିବା କିପରି ଏହି 'ଛକି' ବା କ୍ରସ୍ (cross) ଗୁଣନ ହୁଏ। ଏହି ଚିତ୍ରଟିକୁ ଭଲଭାବେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର। ଆମେ କେବଳ ସଂଖ୍ୟା ଗୁଡିକୁ ନେଇ ଉପରୁ ତଳକୁ ଏବଂ ତଳୁ ଉପରକୁ ଗୁଣନ କରିବା।

ବଜ୍ର ଗୁଣନ ସୂତ୍ର (The Magic Formula)
ଉପରୋକ୍ତ ତୀର ଚିହ୍ନ ଅନୁସାରେ ଗୁଣନ କଲେ ଆମେ ଏହି ସୂତ୍ର ପାଇବା। ପ୍ରଥମେ ନୀଳ ତୀର (ତଳକୁ) ଗୁଣନ ହେବ, ତାପରେ ସେଥିରୁ ନାଲି ତୀର (ଉପରକୁ) ଗୁଣନ ଫଳ ବିୟୋଗ ହେବ:

x b₁c₂ - b₂c₁

y c₁a₂ - c₂a₁

1 a₁b₂ - a₂b₁

ଗୋଟିଏ ଉଦାହରଣ ଦେଖିବା (Worked Example)

ଗଣିତକୁ ଦେଖି ଡରିବାର କିଛି ନାହିଁ! ଆସ ଏକ ପ୍ରଶ୍ନକୁ ଧୀରେ ଧୀରେ ଗୋଟିଏ ପରେ ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କରି ସମାଧାନ କରିବା।

ଉଦାହରଣ (ବଜ୍ର ଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀ)

ପ୍ରଶ୍ନ: ସମାଧାନ କର: 2x - 3y - 1 = 0 ଏବଂ 4x + y - 9 = 0

ଷ୍ଟେପ୍ ୧: ସମୀକରଣ ଗୁଡିକୁ ଯାଞ୍ଚ କର (Check the form)

କ'ଣ ଡାହାଣ ପଟେ 0 ଅଛି? ହଁ! ଦୁଇଟି ଯାକ ସମୀକରଣ ସାଧାରଣ ରୂପରେ ଅଛନ୍ତି। ଯଦି ନଥାନ୍ତା, ଆମେ ସବୁ ସଂଖ୍ୟାକୁ ବାମକୁ ଆଣିଥାନ୍ତେ।

ଷ୍ଟେପ୍ ୨: a, b, ଏବଂ c ଚିହ୍ନଟ କର (Find a, b, c)

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ (2x - 3y - 1 = 0) ରୁ ଆମେ ପାଇବା:
a₁ = 2 (x ପାଖରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା)
b₁ = -3 (y ପାଖରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା, ମାଇନସ୍ ଚିହ୍ନ ସହ)
c₁ = -1 (ଶେଷ ସଂଖ୍ୟା)

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ (4x + y - 9 = 0) ରୁ ଆମେ ପାଇବା:
a₂ = 4
b₂ = 1 (y ପାଖରେ କିଛି ନାହିଁ ଅର୍ଥାତ୍ ଏହା 1 ଅଟେ)
c₂ = -9

ଷ୍ଟେପ୍ ୩: ସୂତ୍ରରେ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବସାଅ (Put numbers in formula)

ଭୁଲ ନହେବା ପାଇଁ ସବୁବେଳେ ବନ୍ଧନୀ ( ) ଭିତରେ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖ।

x (-3)(-9) - (1)(-1)

y (-1)(4) - (-9)(2)

1 (2)(1) - (4)(-3)

ଷ୍ଟେପ୍ ୪: ସାବଧାନତାର ସହ ଗୁଣନ କର (Multiply carefully)

ମନେରଖ: ଦୁଇଟି ମାଇନସ୍ ଗୁଣନ ହେଲେ ପ୍ଲସ୍ ହୋଇଯାଏ! ଯେପରିକି -3 × -9 = +27.

x 27 - (-1)

y -4 - (-18)

1 2 - (-12)

ଏବେ ବନ୍ଧନୀ ଚିହ୍ନକୁ ଖୋଲିଦେଲେ ମାଇନସ୍ ମାଇନସ୍ ଗୁଣନ ହୋଇ ପ୍ଲସ୍ ହୋଇଯିବ:

x27 + 1

y-4 + 18

12 + 12

x28

y14

114

ଷ୍ଟେପ୍ ୫: x ଏବଂ y ର ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କର (Find the final answers)

ପ୍ରଥମେ x କୁ ଶେଷ ଭଗ୍ନାଂଶ ସହିତ ସମାନ କର:

x28

114

⇒ x =

2814

= 2

ତାପରେ y କୁ ଶେଷ ଭଗ୍ନାଂଶ ସହିତ ସମାନ କର:

y14

114

⇒ y =

1414

= 1

ଅତଏବ, ନିର୍ଣ୍ଣେୟ ସମାଧାନ ହେଉଛି: (x, y) = (2, 1)

ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସୂଚନା (Important Points)

ଚିହ୍ନ ପ୍ରତି ଧ୍ୟାନ ଦିଅ: ଅଧିକାଂଶ ପିଲା ମାଇନସ୍ (-) ଚିହ୍ନକୁ ଭୁଲି ଯାଆନ୍ତି। ଯଦି -3y ଅଛି, ତେବେ b = -3 ନେବାକୁ ହେବ, କେବଳ 3 ନୁହେଁ।
ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ଵାରା ଭାଗ ଅସମ୍ଭବ: ସର୍ବଦା ଯାଞ୍ଚ କର ଯେ a₁b₂ - a₂b₁ ର ମୂଲ୍ୟ ଶୂନ (0) ହେଉନାହିଁ। ଯଦି ତଳ ସଂଖ୍ୟା 0 ହୋଇଯାଏ, ତେବେ ଗଣିତରେ ସମାଧାନ ବାହାରି ପାରିବ ନାହିଁ (No unique solution)।
ପ୍ରଥମେ ନିଜ ପ୍ରଶ୍ନକୁ = 0 ଆକାରରେ ଲେଖିବାକୁ କେବେହେଲେ ଭୁଲିବ ନାହିଁ।

ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀ (Practice Time!)

ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କର! ଭୁଲ୍ ହେଲେ ଭୟ କର ନାହିଁ, ଉପରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଉଦାହରଣକୁ ପୁଣି ଥରେ ଦେଖି ଧୀରେ ଧୀରେ କର।

ସ୍ତର	ପ୍ରଶ୍ନ	ସାହାଯ୍ୟ (Hint)
ସହଜ (Basic)	1. x + y = 5 2. x - y = 1	ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣରୁ x = 5 - y କର ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟରେ ପକାଅ।
ମଧ୍ୟମ (Moderate)	1. 2x + 3y = 8 2. x + 2y = 5	ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣରୁ x ର ମାନ ବାହାର କରିବା ଅଧିକ ସହଜ ହେବ।
କଷ୍ଟ (Challenging)	1. 3x - 5y = -1 2. x - y = -1	ଚିହ୍ନ (Minus/Plus) ଉପରେ ବିଶେଷ ଧ୍ୟାନ ଦେବ। ଭୁଲ୍ ହେବାର ସମ୍ଭାବନା ଅଛି!
ବଜ୍ର ଗୁଣନ (Cross Mul.)	1. 2x + y - 5 = 0 2. 3x + 2y - 8 = 0	ଏହା ସାଧାରଣ ରୂପରେ ପୂର୍ବରୁ ଅଛି। ସିଧାସଳଖ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କର।

ବାସ୍ତବ ଜୀବନରେ ଏହାର ବ୍ୟବହାର (Real-Life Magic)

ତୁମେ ଭାବୁଥିବ "ଏହି x ଏବଂ y କୁ ନେଇ ମୁଁ କ'ଣ କରିବି?"
ଉଦାହରଣ: ତୁମେ ଏବଂ ତୁମ ସାଙ୍ଗ ମେଳାକୁ ଗଲ। ତୁମେ ୨ଟି ସିଙ୍ଗଡ଼ା ଓ ୧ଟି ମିଠା ଖାଇ ୩୦ ଟଙ୍କା ଦେଲ। ତୁମ ସାଙ୍ଗ ୧ଟି ସିଙ୍ଗଡ଼ା ଓ ୨ଟି ମିଠା ଖାଇ ୩୦ ଟଙ୍କା ଦେଲା।
କେବଳ ଏହି କଥାରୁ ତୁମେ ଗୋଟିଏ ସିଙ୍ଗଡ଼ା ଏବଂ ଗୋଟିଏ ମିଠାର ଦାମ୍ ବାହାର କରିପାରିବ। ସିଙ୍ଗଡ଼ାକୁ 'x' ଏବଂ ମିଠାକୁ 'y' ନେଇ ସମୀକରଣ ତିଆରି କର ଏବଂ ଉପର ପଦ୍ଧତିରେ ସମାଧାନ କର! ତୁମେ ଆଶ୍ଚର୍ଯ୍ୟ ହେବ ଯେ ଗଣିତ କିପରି ସତ କଥା କହିଦିଏ!

class X

class IX

class Viii

PYQ I

PYQ ii

EDUBLOG

class X

class IX

class Viii

class X

class IX

VIDEOS

ଅଧ୍ୟାୟ 1: ସରଳ ସହସମୀକରଣ (Linear Simultaneous Equations)

୧. ଉପକ୍ରମଣିକା (ସହଜରେ ବୁଝିବା ଆସ)

ନୂଆ ଶବ୍ଦଗୁଡିକର ଅର୍ଥ ଶିଖିବା:

୨. ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଥିବା ସମୀକରଣ (ପୁରୁଣା ପାଠ ମନେ ପକାଇବା)

ଗୋଟିଏ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିର ସୂତ୍ର (Formula)

ଉଦାହରଣ 1: ଗୋଟିଏ ରାଶିର ସମାଧାନ କରିବା ଶିଖିବା

୩. ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଥିବା ସମୀକରଣ (Two Variables)

ଦୁଇଟି ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ଥିବା ସମୀକରଣର ସୂତ୍ର

୪. ସହସମୀକରଣ କାହିଁକି ଦରକାର? (Why Two Equations?)

ସବୁଠାରୁ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ କଥା (ମନେ ରଖିବା ଯୋଗ୍ୟ) 💡

ସରଳ ସହସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ରୂପ (ଯୋଡ଼ା ସମୀକରଣ)

୫. ବାସ୍ତବ ଜୀବନରେ ଏହାର ବ୍ୟବହାର (Real-Life Applications)

ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କର (Practice Questions) ✍️

ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଜ୍ୟାମିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ (Geometrical Representation)

ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରସଙ୍ଗ (Introduction)

୧. ସମୀକରଣ ଏବଂ ସରଳରେଖା (Equation and Straight Line)

୨. ତିନୋଟି ସମ୍ଭାବନା (Three Possibilities in a Graph)

୩. ବିନା ଗ୍ରାଫ୍ ଆଙ୍କି ସୂତ୍ର ଦ୍ଵାରା କିପରି ଜାଣିବା? (The Magic Shortcut)

୪. ଆସ ଗୋଟିଏ ପ୍ରଶ୍ନର ସମାଧାନ କରିବା (Step-by-step Example)

୫. ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କର (Practice Questions)

୬. ବାସ୍ତବ ଜୀବନର ପ୍ରୟୋଗ (Real-Life Applications)

ବୀଜଗଣିତ: ଲେଖଚିତ୍ର (Graph) ସାହାଯ୍ୟରେ ସମାଧାନ

I. ପ୍ରାଥମିକ ଧାରଣା (Simple Introduction)

II. ସମାଧାନର ମୂଳ ମନ୍ତ୍ର (The Core Rules)

III. ପୂର୍ଣ୍ଣାଙ୍ଗ ଉଦାହରଣ (Detailed Worked Example)

ପ୍ରଥମ ସରଳରେଖା (L1) ପାଇଁ ପ୍ରସ୍ତୁତି:

ଦ୍ୱିତୀୟ ସରଳରେଖା (L2) ପାଇଁ ପ୍ରସ୍ତୁତି:

IV. ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ (Drawing the Graph)

V. ମନେରଖିବାକୁ ଜରୁରୀ କଥା (Important Points to Remember)

VI. ବାସ୍ତବ ଜୀବନରେ ଏହାର ବ୍ୟବହାର (Real-Life Applications)

VII. ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କର (Practice Questions)

ଅଧ୍ୟାୟ: ଲେଖଚିତ୍ର ସାହାଯ୍ୟରେ ସହ-ସମୀକରଣ (ବିଶେଷ ପରିସ୍ଥିତି)

I. ମୂଳ ଧାରଣା (Introduction & Key Concepts)

II. ଉଦାହରଣ-1 (ଯେତେବେଳେ ରେଖା ଦ୍ୱୟ "ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ" ହୁଅନ୍ତି)

III. ଉଦାହରଣ-2 (ଯେତେବେଳେ ରେଖା ଦ୍ୱୟ "ସମାନ୍ତର" ହୁଅନ୍ତି)

IV. ବିନା ଲେଖଚିତ୍ରରେ ସମାଧାନ ଜାଣିବାର ସୂତ୍ର (Short-cut Formula)

V. ବାସ୍ତବ ଜୀବନର ଉଦାହରଣ (Real-Life Application)

VI. ନିଜେ କରି ଦେଖ (Practice Questions)

ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ପାଇଁ ସର୍ତ୍ତ

(Conditions of solvability of two linear simultaneous equations)

ମୌଳିକ ଧାରଣା (Basic Concept)

ସର୍ତ୍ତ - I : ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ (Unique Solution)

ସର୍ତ୍ତ - II : ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ (Infinitely Many Solutions)

ସର୍ତ୍ତ - III : କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ (No Solution)

⚠️ ସାଧାରଣତଃ ପିଲାମାନେ କରୁଥିବା ଭୁଲ (Common Mistakes):

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ସାରଣୀ (Quick Summary)

ନିଜେ କର (Practice Questions)

ସରଳ ସହସମୀକରଣ: ସମାଧାନର ସର୍ତ୍ତ

ସମାଧାନ ହେବାର ୩ ଟି ମୁଖ୍ୟ ସର୍ତ୍ତ

ସମାଧାନ ପ୍ରଣାଳୀ (Solved Example)

୧.୨. ସହ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ବୀଜଗାଣିତିକ ସମାଧାନ

ମୁଖ୍ୟ ଉପାୟ (Methods to Solve)

(i) ପ୍ରତିକଳ୍ପନ ପଦ୍ଧତି (Method of Substitution)

(ii) ଅପସାରଣ ପଦ୍ଧତି (Method of Elimination) - ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଧାରଣା

(iii) ବଜ୍ର ଗୁଣନ ପ୍ରଣାଳୀ (Cross Multiplication)

ଧାରଣା ଗଠନ (Concept Building)

ମୂଳ ସୂତ୍ର (The Formula)

ଗୋଟିଏ ଉଦାହରଣ ଦେଖିବା (Worked Example)

ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନାବଳୀ (Practice Time!)

ବାସ୍ତବ ଜୀବନରେ ଏହାର ବ୍ୟବହାର (Real-Life Magic)

About

At a Glance

Life at MatriX

Follow us:

ଅଧ୍ୟାୟ 1: ସରଳ ସହସମୀକରଣ
(Linear Simultaneous Equations)

ସହ-ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଜ୍ୟାମିତିକ ପରିପ୍ରକାଶ
(Geometrical Representation)